Cours: "Systèmes dynamiques. Chaos et applications"
(Master M1 en physique)
Enseignants: Irina Mihalcescu,
Frédéric Faure.
Dernière mise à jour: 15 octobre 2018
1 Notes de Cours
2 Exercices de Travaux Dirigés (TD)
2.1 TD de 2018-2019
2.2 Anciens TD:
- TD "Morphogénèse 1". (Solutions dans le cours, chap. 2)
- Instabilité dans le modèle de Swift-Honenberg
- Instabilité des équations de type réaction-diffusion
- Motifs en dimension 2.
- TD "Ondes non linéaires".(Solutions dans le cours, chap. 2)
- Solitons dans une chaine d'oscillateurs couplés de façon non linéaire.
3 Exercices de Travaux Pratiques (TP)
4 Examens
- 2013-2014:
- Sujet:
- Modèle d'épidémie.
- Evolution plante bisanuelle.
- Trajectoires périodiques dans un graphe et fonction zéta.
- Sensibilité aux conditions initiales dans billard dispersif.
- Solutions.
- 2014-2015
- 2015-2016
- Sujet.
- Instabilité un modèle spatio-temporel
- Chaos déterministe
- solutions.
- 2016-2017
- 2017-2018
- 2018-2019
5 Exposés et Documents associés
- pour Chapitre Introduction:
- pour Chapitre Dynamique probabiliste sur les graphes
- pour Chapitre Dynamique déterministe, applications expansives
- pour Chapitre Dynamique déterministe et hyperbolique (chaotique)
- Articlede Lorenz de 1963, "Deterministic nonperiodic flow". (il a utilisé l'article de Saltzman 1962).
- Articlede E. Ghys de 2010, "L'attracteur de Lorenz, paradigme du chaos".
- Article de Thibault Lefeuvre 2021 sur le flot géodésique sur une surface à courbure négative, qui est chaotique.
- 5 masses libres reliées qui est un exemple de flot géodésique Anosov.
- pour Chapitre Dynamique de champs et morphogénèse
- Autres:
- Conférencede Francois Roddier sur la "thermodynamique de l'évolution", octobre 2010.
6 Présentation
La théorie des systèmes dynamiques a comme enjeu l'étude des systèmes régis par des lois élémentaires simples, déterministes ou stochastique et manifestant des phénomènes émergeants complexes et inattendus.
Le cours vise à introduire les étudiants aux concepts de base de la physique non-linéaire, à la théorie des systèmes dynamiques et à la théorie du chaos. L'objectif est de fournir aux étudiants des méthodes d'analyse, une approche géométrique ainsi que la connaissance et la compréhension d'exemples concrets marquants et divers, issus de la physique (physique des fluides, astronomie, mécanique quantique, physique de la Terre), de l'ingénierie, de la biologie, de la chimie, de l'économie et des mathématiques. Nous présenterons aussi quelques enjeux majeurs de la recherche actuelle. Il apparaît en effet que les grands défis scientifiques du XXIe siècle sont reliés à des questions de systèmes dynamiques complexes comme: QCD et confinement des quarks, la conjecture de Riemann, turbulence et équations de Navier-Stokes, le vivant (morphogénèse, comportement du cerveau, évolution des espèces), les sociétés (interactions complexes, économie) .
6.1 Plan du cours :
- Introduction : modèles caractéristiques de systèmes dynamiques, espace des phases, section de Poincaré, exemples : pendule amorti et entretenu, application logistique, ensemble de Mandelbrot, oscillateur chimique.
- Bifurcations dans les systèmes unidimensionnels, cycles d'hystérésis, oscillateurs, synchronisation (lucioles, jonctions Josephson).
- Flots bidimensionnels et applications : classement des points fixes des systèmes linéaires, stabilité, bassins d?attraction, cycles limites (fonction de Lyapunov, théorème de Poincaré-Bendixon), oscillateurs (cycles glaciaires, équation de Duffing), bifurcation de Hopf et réactions chimiques oscillantes, quasi-périodicité, verrouillage en fréquence, théorie de Kuramoto,
- Systèmes de dimension infinie de type théorie des champs: instabilités hydro, ondes solitaires, modèles de morphogénèse de type réaction-diffusion.
- Dynamique hyperbolique à travers des exemples : dynamique symbolique, fractals, dimension de Haussdorff, ergodicité, mélange, théorème central limite.
- Présentation de modèles évolués : attracteur de Lorenz, application de Hénon, systèmes hamiltoniens, billards, théorème KAM, scenario de Poincaré-Melnikov, anneaux de Saturne, chaos dans le système solaire, chaos spatio-temporel et turbulence.
6.2 Volumes horaires (CM/TD/TP) et noms des intervenants
- Cours: 15 séances de 1h30 par Frédéric Faure et Irina Mihalcescu
- TD : 10 séances de 1h30 par F. Faure, I. Mihalcescu.
- 10h de TP, Pierre Hily-Blant (4 séances de 1h30 de TPs numériques, 2 séances de TPs de 2h (instabilité hydro, oscillateurs électroniques)
6.3 Existence de prérequis
Cours de L3 de physique, et en particulier le cours de mécanique analytique.
6.4 Modalités d'évaluation
- Session 1 : note de CC (note TD Coef 0.05 + note TP Coef 0.2) et examen terminal écrit 3h (Coef 0.75).
- Session 2 : report note CC + écrit ou oral selon nombre d étudiants
6.5 Bibliographie
- Nonlinear Dynamics and Chaos: With Applications to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering, Steven H. Strogatz
- "Pattern formation and dynamics in Nonequilibrium Systems". 2009. Michael Cross, Henry Greenside,
- "Physique des solitons", Michel Peyrard et Thierry Dauxois. 2004.
- Differential Equations, Dynamical Systems, and an Introduction to Chaos, Morris W. Hirsch, Stephen Smale , Robert L. Devaney
- L'ordre dans le chaos, Pierre Bergé, Yves Pomeau, Christian Vidal