Travaux Pratiques numériques pour le cours « systèmes dynamiques et chaos »

1 Travail demandé

1. Avant la séance de TP faire les exercices préparatoires donnés ci-dessous. Scanner et envoyez moi par email s'il vous plait, vos feuilles dans un seul fichier au format pdf sous la forme NOM_PRENOM.pdf. Remarque: sous android ou iphone, l'application CamScanner, permet de générer un fichier pdf à partir des photographies d'un document papier. Si vous n'y arrivez pas, informez moi.
2. En séance de TP, faire les exercices de programmation sur ordinateur.
3. Après la séance de TP, choisir un projet parmi cette liste et développer/réaliser le projet en s'aidant des exemples vus dans ce TP.

Langage informatique:

• Dans ce TP, on propose d'utiliser le langage python3 avec l'envirronement Spyder3. Voici un didacticiel Python avec de nombreuses références.
  Remarque 1.1. Afin de pouvoir interagir avec les fenetres graphiques, dans spyder il est conseillé, dans le menu Outils/Préférences/ConsoleIPython/Graphiques/Sortie : de choisir le mode automatique. (et relancer la fenetre IPython)
• Si vous préférez C++, voici le (presque) même tutorial pour C++, et voici un didacticiel C++ avec de nombreuses références.

Objectif

• La question centrale est de comprendre et prévoir le comportement à temps longs de systèmes gouvernés par des lois.
• Dans ce TP, à l'aide de quelques exemples précis, on explore la dynamique déterministe à temps continu (flot) ou temps discret en dimension $d$, avec $d=1,2,3$. Autrement dit à chaque instant $t$, l'état du système est caractérisé par les variables $x\left(t\right)=\left(x_1\left(t\right),x_2\left(t\right),\dots x_d\left(t\right)\right)\in R^d$.
  • Pour une loi à temps continu, $t\in R$ et la loi est de la forme$$\frac{dx}{dt}=V\left(x\left(t\right)\right),$$spécifiée par une fonction $x\in R^d\to V\left(x\right)\in R^d$ appelée champ de vecteur.
  • Pour une loi à temps discret $t\in N$ la loi est de la forme$$x\left(t+1\right)=\phi \left(x\left(t\right)\right),$$avec une fonction $\phi :x\in R^d\to \phi \left(x\right)\in R^d$.
  • Dans tous les cas, l'objectif est de comprendre, décrire le comportement des trajectoires $x\left(t\right)$ pour $t\to \infty$.
• Rappels: technique utile: la section de Poincaré.

2 Dimension 1

2.1 Dynamique à temps continu en dimension 1

2.1.1 Exercices mathématiques préparatoires

1. Selon le paramètre $\mu$, trouver les points fixes de la dynamique (2.1), c'est à dire les zéros $x^{*}$ du champ de vecteur $V$, et déterminer leur stabilité, c'est à dire le signe de $V\text{'}\left(x^{*}\right)$. Quels sont les attracteurs et répulseurs (i.e. attracteur dans le passé) de la dynamique?
2. Calculer $div\left(V\right)\left(x\right)$ et déterminer si le flot est contractif, expansif ou conservatif selon $x$.
3. Pour $\mu =1$, (et ensuite $\mu =-1$), tracer le graphe de la fonction $V$ et déduire l'allure du champ de vecteur $V\left(x\right)$ sur l'axe $x$. Remarquer que (2.1) est équivalent à considérer l'équation de mouvement du « problème étendu » $\left(x\left(s\right),t\left(s\right)\right)\in R^2$, $s\in R$ suivant:$$\{\begin{array}{cc}\frac{dx}{ds}=V\left(x\right)& \\ \frac{dt}{ds}=1& \end{array}$$où il apparaît le champ de vecteur $F\left(x,t\right)=\left(V\left(x\right),1\right)$ dans le plan $R^2$. Tracer l'allure des trajectoires (ou « lignes d'univers ») dans le plan $\left(x,t\right)$.

Solutions:

1. $x^{*}$ est un zéro si $0=V\left(x^{*}\right)=\mu x^{*}\left(x^{*}-1\right)$ donnant $x^{*}=0$ ou $x^{*}=1$ qui sont les deux points fixes du flot. On a $V\text{'}\left(x\right)=\mu \left(2x-1\right)$. Si $\mu >0$, alors $V\text{'}\left(0\right)=-\mu <0$ montrant que pour $t\to +\infty$, le point fixe $x^{*}=0$ est stable ( ou « attracteur ») et $V\text{'}\left(1\right)=\mu >0$ montrant que le point fixe $x^{*}=1$ est instable (ou « répulseur »).
2. On a $div\left(V\right)\left(x\right)=\frac{dV}{dx}=V\text{'}\left(x\right)=\mu \left(2x-1\right)$ donc, si $\mu >0$, alors on a $div\left(V\right)\left(x\right)>0$ pour $x>\frac{1}{2}$, i.e. le flot est contractif (dissipatif). On a $div\left(V\right)\left(x\right)<0$ pour $x<\frac{1}{2}$, i.e. le flot est expansif (dissipatif).

2.1.2 Exercice de programmation

1. Télécharger et exécuter le programme champ_vecteur_dim1.py qui dessine le champ de vecteur $F\left(x,t\right)=\left(V\left(x\right),1\right)$ dans le plan $R^2$ et résout l'équation (2.1) avec le schéma de Runge-Kutta. Aide: sous linux, dans un terminal écrire:
   python3 champ_vecteur_dim1.py
   
2. Lire et bien comprendre le programme.
3. Changer la condition initiale $x\left(0\right)$ et le paramètre $\mu$ dans le programme et vérifier vos prédictions.
4. Modifier le programme pour étudier l'équation de mouvement suivante sur l'intervalle $x\in \left[-1,2\right]$: $$\begin{array}{cc}\frac{dx}{dt}=V\left(x\right):=sin\left(2\pi x\right)& (2.2)\end{array}$$

2.2 Dynamique à temps discret en dimension 1

2.2.1 Exercices préparatoires

1. Tracer le graphe de $f\left(x\right)=\mu x\left(1-x\right)$ dans l'intervalle $x\in \left[0,1\right]$. Trouver le(s) point(s) fixe(s) $a=f\left(a\right)$ et discuter leur stabilité en fonction de $\mu$. Pour $0<\mu <3$, quels sont les attracteurs et répulseurs de la dynamique?
2. Calculer $\left|f\text{'}\left(x\right)\right|$ et déduire si l'application est contractive, expansive ou conservative selon $x$.
3. Optionnel. On pose $\mu =3+\epsilon$ et $x=a+y$. On suppose $\epsilon \ll 1$, $y\ll 1$. Trouver les points fixes de $b=f\left(f\left(b\right)\right)$ (i.e. les points périodiques de $f$ de période deux) et discuter leur stabilité en fonction de $\epsilon$. Tracer le graphe $b\left(\mu \right)$ appelé diagramme de bifurcation.
4. Montrer que $x=\infty$ est toujours attracteur.

2.2.2 Exercice de programmation

1. Télécharger, compiler et exécuter le programme application_dim1.py qui dessine la fonction $f$ et fait évoluer le point $x\left(t\right)$.
   
2. Changer la condition initiale $x\left(0\right)$ et le paramètre $\mu$ dans le programme et vérifier vos prédictions.
3. Changer la formule de l'application $f$ et essayer.
4. Optionnel. Faire un programme qui dessine les attracteurs et répulseurs de la dynamique en fonction de $\mu$, comme ici.
5. Optionnel. Comme ici, considérer l'équation avec $x\in C$ et $\mu \in C$. Faire un programme qui pour chaque paramètre $\mu \in C$, associe $M\left(\mu \right)\ge 0$ (ou une couleur) obtenu par: partant du point $x_0=0.5$ et $t=10^3\gg 1$, on pose $M\left(\mu \right)=log\left(x\left(t\right)\right)$. Cela fera apparaître l'ensemble de Mandelbrot.

3 Dimension 2

3.1 Dynamique à temps continu en dimension 2

3.1.1 Exercices préparatoires

1. Selon le paramètre $\mu$, trouver les points fixes de la dynamique (2.1), c'est à dire les zéros du champ $x^{*}$ de vecteur $V$, et déterminer leur stabilité.
2. Calculer $div\left(V\right)\left(x,y\right)$ et déterminer si le flot est contractif, expansif ou conservatif selon le point $\left(x,y\right)$.

3.1.2 Exercice de programmation

1. Renommer le programme champ_vecteur_dim1.py ci-dessus en champ_vecteur_dim2.py. Le modifier afin de dessiner le champ de vecteur et la trajectoire comme l'image ci-dessus. Solution ici: 4.1.5.
2. Changer la condition initiale $x\left(0\right)$ et le paramètre $\mu$ dans le programme et vérifier vos prédictions.

3.1.3 (Optionnel) Section de Poincaré

• Considérer la demi droite $\Sigma =\left\{\left(0,y\right),y\ge 0\right\}$ dans le plan $\left(x,y\right)$ et considérer la suite des intersections d'une trajectoire avec $\Sigma$. Cela définit une dynamique de dimension 1 à temps discret, appelée Section de Poincaré du flot. En utilisant la coordonnée $y\ge 0$ sur $\Sigma$, on a une suite $y\left(0\right),y\left(1\right)=\phi \left(y\left(0\right)\right),\dots y\left(n+1\right)=\phi \left(y\left(n\right)\right),\dots$. Exercice: avec le programme, afficher la suite ${\left(y\left(n\right)\right)}_n$. Tracer la fonction $\phi :R\to R$ qui définit l'application de Poincaré et tracer les points $y\left(n\right),y\left(n+1\right)=\phi \left(y\left(n\right)\right)$ comme dans la Section 2.2.

3.1.4 (Optionnel) Autres exemples

• Considérer un pendule amorti caractérisé par sa position angulaire $\theta \left(t\right)$.
  Exercice 3.1. Écrire les équations de mouvement comme un champ de vecteur $V$ dans l'espace de phase $\left(\theta ,\omega =\frac{d\theta }{dt}\right)$.

3.2 Dynamique à temps discret en dimension 2

3.2.1 Exercices préparatoires

1. On note $\phi \left(x_1,x_2\right)=\left({\phi }_1\left(x_1,x_2\right),{\phi }_2\left(x_1,x_2\right)\right)$. Calculer $\left|det\left(D\phi \right)\right|=\left|det\left(\begin{array}{cc}\frac{\partial {\phi }_1}{\partial x_1}& \frac{\partial {\phi }_1}{\partial x_2}\\ \frac{\partial {\phi }_2}{\partial x_1}& \frac{\partial {\phi }_2}{\partial x_2}\end{array}\right)\right|$ et déduire si l'application est contractive, expansive ou conservative selon le point $x_1,x_2$.
2. Allure des trajectoires si $K=0$?

3.2.2 Exercice de programmation

1. Télécharger et exécuter le programme application_dim2.py qui dessine la trajectoire d'un point $\left(x_1\left(t\right),x_2\left(t\right)\right)$: Cliquer « bouton gauche » pour choisir un point initial, « barre espace » pour continuer la trajectoire.
2. Observer les trajectoires.
3. Modifier le paramètre K pour reproduire la figure ci-dessous.
   

3.2.3 Autres exemples

• Considérer un domaine $\Omega$ du plan $R^2$, par exemple un disque de rayon $R$. Une particule est libre de se déplacer dans ce domaine, i.e. avance en ligne droite à vitesse constante, et rebondit de façon parfaite sur le bord. A chaque rebond on note $\theta$ la position angulaire et $p=sin\left(i\right)$ où $i$ est l'angle par rapport à la direction normale. La suite des rebond définit une suite $\left({\theta }_n,p_n\right)$ avec $n=1,2,\dots$. qui est une dynamique à deux dimensions et temps discret.
  

$$rayonr\left(\theta \right)=1+acos\left(4\pi \theta \right),0\le a<1:paramètre de déformation$$

3.2.4 Des résonances dans le système solaire

4 Dimension 3

4.1 Dynamique à temps continu en dimension 3

4.1.1 Exemple du « flot de Lorenz ».

4.1.2 Exercices préparatoires

1. Calculer $div\left(V\right)$ et déterminer si le flot est contractif, expansif ou conservatif selon le point $\left(x_1,x_2,x_3\right)$.

4.1.3 Exercices de programmation

• Copier et exécuter cet exemple exemple. Faire évoluer un point rouge sur l'attracteur de Lorenz.

4.1.4 Section de Poincaré

• Choisir une surface (ou plan) dans l'espace $\left(x_1,x_2,z\right)$ appelée Section de Poincaré, par exemple $z=C=27$, et considérer la suite des intersections de la trajectoire avec ce plan. Cela définit une dynamique de dimension 2 à temps discret, appelée Application de Poincaré du flot. Exercice: tracer la suite des intersections en 3D (point rouges sur trajectoire bleue) puis en 2D (points choisis à la souris dans la section de Poincaré). Solution: programme python
  

4.1.5 Autres exemples de flots en dimension 3

1. « Attracteur de Rossler ». Etudier la dynamique de Rossler (changer les conditions initiales, ...). Voir sujet 2 et correction. Programme python.
   
2. « Pendule pulsé ». Considérer un pendule de longueur variable $l\left(t\right)=1+cos\left(\Omega t\right)$, masse $m$. On pose $\theta \left(t\right)$ la position angulaire et $\omega \left(t\right)=d\theta /dt$. Ecrire l'équation de mouvement. Montrer que l'on obtient un champ de vecteur dans l'espace de dimension trois $\left(\theta ,\omega ,s\right)$ où $s\equiv t modulo T$ avec $T=2\pi /\Omega$. Tracer une section de Poincaré pour $s=0$.
3. Une particule dans le plan $\left(x,y\right)\in R^3$ et soumis à une force dérivant d'une énergie potentielle $U\left(x,y\right)$. L'énergie $H=\frac{p^2}{2m}+U\left(x,y\right)$ est conservée et dans la couche d'énergie ${\Sigma }_E=H^{-1}\left(E\right)$ qui est de dimension 3, les équations de mouvement de Hamilton définissent un champ de vecteur.

Solutions :