Videos for the course Systèmes dynamiques, chaos et applications

5 november 2017

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Chapter 1 Introduction

1.1 The pendulum

1.2 The logistic map

1.3 Le billard de Sinaï

1.4 Dynamique spatio-temporelle

Chapitre 2 Le moulin de Lorenz et son attracteur étrange

2.1 Flot de Lorenz d'une particule

2.2 Flot de Lorenz et champ de température et de vitesse

2.3 SRB equilibrium measure, Ergodicity.

2.4 Mélange dans le flot de Lorenz

2.5 Central Limit Theorem

2.6 Théorème de la limite centrale pour le Modèle aléatoire de Pile ou Face

Chapter 3 Morphogenese

3.1 Modele de Swith-Honenberg

Chapter 1 Introduction

1.1 The pendulum

1.1.1 Pendule simple avec amortissement

image: 50_home_faure_enseignement_Systemes_dynamiques_M1_Animations_chap_intro_Animation_pendule.gif

1.1.2 Pendule entretenu

Trajectoire partant de la condition initiale

α_{0} = 0, β_{0} = 0.1

. L'amplitude augmente et la trajectoire converge vers un cycle limite (trajectoire périodique). Les paramètres sont

g = 1, l = 1, γ = 0.2, m = 1, c = 1.

image: 51_home_faure_enseignement_Systemes_dynamiques____ions_chap_intro_Animation_pendule_entretenu.gif

La trajectoire part de la condition initiale

α_{0} = 0, β_{0} = 2

et converge vers le même cycle limite:

image: 52_home_faure_enseignement_Systemes_dynamiques____ns_chap_intro_Animation_pendule_entretenu_2.gif

1.2 The logistic map

f (x)

image: 59_home_faure_enseignement_Systemes_dynamiques_____chap_intro_Animation_ens_repulsif_mu_1_5_5.gif

image: 60_home_faure_enseignement_Systemes_dynamiques____ations_chap_intro_Animation_Mandel_mu_1_5_5.gif

image: 61_home_faure_enseignement_Systemes_dynamiques____p_intro_Animation_ens_repulsif_mu_1_5_i_0_2.gif

image: 62_home_faure_enseignement_Systemes_dynamiques_____chap_intro_Animation_Mandel_mu_1_5_5_i_0_2.gif

1.3 Le billard de Sinaï

1.3.1 1 bille et sur le plan (recouvrement universel)

Une bille évolue en ligne droite à vitesse constante et rebondit parfaitement sur le bord des disques. Elle a donc un comportement déterministe. Mais on observe que le comportement est imprévisible, “chaotique”. Pourquoi?

image: 63_home_faure_enseignement_Systemes_dynamiques_M1_Animations_chap_intro_1_Animation_1_bille.gif

1.3.2 $N = 1 0^{4}$ billes indépendantes avec des conditions initiales très proches $Δ y = 1 0^{- 4}$

La distribution des billes peut s'interpréter comme une distribution de probabilité d'une bille initiale. Cette distribution converge vers l'équilibre et diffuse sur le réseau (sur le plan). Pour cette distribution, on observe un comportement prédictible mais irréversible. Il y a donc une “évolution effective” prédictible

image: 64_home_faure_enseignement_Systemes_dynamiques____ns_chap_intro_2_Animation_10e4_billes_Sinai.gif

image: 65_home_faure_enseignement_Systemes_dynamiques____hap_intro_3_Animation_10e4_billes_diffusion.gif

1.4 Dynamique spatio-temporelle

1.4.1 Evolution de la première composante $ϕ_{1}$ pour la réaction B.Z.

image: 66_home_faure_enseignement_Systemes_dynamiques_M1_Animations_chap_intro_Animation_BZ_1.gif

1.4.2 Images aux périodes $T = 12$ , afin de montrer la convergence vers un cycle limite

image: 67_home_faure_enseignement_Systemes_dynamiques_M1_Animations_chap_intro_Animation_BZ_2.gif

Chapitre 2 Le moulin de Lorenz et son attracteur étrange

2.1 Flot de Lorenz d'une particule

Les équations de mouvement sont

\frac{d x}{d t} = σ (- x + y), \frac{d y}{d t} = r x - y - x z, \frac{d z}{d t} = x y - b z .

image: 68_home_faure_enseignement_Systemes_dynamiques_M1_Animations_chap_flot_lorenz_lorenz_flow_1.gif

2.2 Flot de Lorenz et champ de température et de vitesse

D'après l'ansatz de Lorenz, la dynamique des variables

X (t), Y (t), Z (t)

déterminent l'évolution du champ de température:

T (x, z, t) = T_{0} - z δ T + δ T θ (x, z, t)

avec les fluctuations

θ (x, z, t) = \frac{\sqrt{2}}{π r} Y (t) sin (π z) cos (2 π \frac{x}{a}) - \frac{1}{π r} Z (t) sin (2 π z)

et la période spatiale

a = 2 \sqrt{2} \sim 2.82

Le champ de vitesse

\vec{v}

est déterminé par:

ψ (x, z, t) : = 3 X (t) sin (π z) sin (2 π \frac{x}{a}),

Les lignes de niveaux sont indépendantes de

t

, mais le signe donc le sens de

\vec{v}

dépend de

t

, puis que le fluide tourne dans le sens direct autour des maxima de

ψ

. Dans chaque cellule périodique

0 \leq x \leq a

il y a “deux cellules convectives”.

image: 69_home_faure_enseignement_Systemes_dynamiques_____flot_lorenz_lorenz_animation_temperature_2.gif

image: 70_home_faure_enseignement_Systemes_dynamiques____s_chap_flot_lorenz_lorenz_animation_vitesse.gif

Remarquer que le signe des variables

X

Y

est corrélé. Cela vient du fait que physiquement le sens de la vitesse du fluide transporte les cellules de températures, chaud vers le haut et froid vers le bas. Si

X, Y < 0

alors une bulle de fluide froid descend dans la zone

x \sim 0

image: 71_home_faure_enseignement_Systemes_dynamiques____ations_chap_flot_lorenz_lorenz_animation_XY.gif

2.3 SRB equilibrium measure, Ergodicity.

We observe that for a given observation zone

Z

, and a given initial condition

x

, the proportion of points of the trajectory

φ^{t} (x)

that belong to the zone

Z

converges to a constant

μ_{S R B} (Z)

We observe however that convergence is rather slow.

Temps courts:

image: 72_home_faure_enseignement_Systemes_dynamiques____ap_flot_lorenz_lorenz_animation_proba_SRB_2.gif

Temps plus longs:

image: 73_home_faure_enseignement_Systemes_dynamiques____ap_flot_lorenz_lorenz_animation_proba_SRB_1.gif

temps plus longs:

image: 74_home_faure_enseignement_Systemes_dynamiques____ap_flot_lorenz_lorenz_animation_proba_SRB_3.gif

2.4 Mélange dans le flot de Lorenz

On part d'une condition initiale qui est une distribution de $N = 5.1 0^{5}$ points de taille initiale $δ (0) = 1 0^{- 1}$ .
Chaque point évolue par le flot de Lorenz, et on mesure aussi la taille $δ (t)$ de cette distribution au cours du temps.

image: 75_home_faure_enseignement_Systemes_dynamiques____chap_flot_lorenz_lorenz_animation_melange_2.gif

On part d'une condition initiale qui est une distribution de $N = 5.1 0^{5}$ points de taille initiale $δ (0) = 1 0^{- 5}$ .
Chaque point évolue par le flot de Lorenz, et on mesure aussi la taille $δ (t)$ de cette distribution au cours du temps.

image: 76_home_faure_enseignement_Systemes_dynamiques____chap_flot_lorenz_lorenz_animation_melange_1.gif

En “moyenne” on observe qu'elle évolue exponentiellement vite comme $δ (t) = δ (0) 1 0^{t / τ} .$ avec un temps caractéristique que l'on évalue d'après la pente en échelle log, à $τ \sim 2$ appelé temps caractéristique de Lyapounov.
Pour $t \leq 13$ , la distribution est très petite, et on observe qu'elle évolue sur une trajectoire.
Pour $13 \leq t \leq 15$ , la distribution a une taille macroscopique et on observe un long filament de points: la distribution de points est sur la variété instable d'une trajectoire.
Pour $t \geq 15$ on observe que la distribution de points converge vers la mesure d'équilibre $μ_{S R B}$ . C'est la propriété de mélange.

2.5 Central Limit Theorem

(Voir aussi Section 2.6: le TCL pour le jeu de pile ou face qui a un coef. de diffusion

D = 1

On observe ici la distribution des valeurs de:

{(S x)}_{t} (x) = \int_{0}^{t} x (φ^{s} (x)) ⅆ s

Cette distribution converge vers une Gaussienne de largeur

D \sqrt{t}

où

D

est le “coefficient de diffusion”.

image: 77_home_faure_enseignement_Systemes_dynamiques____ons_chap_flot_lorenz_lorenz_animation_TCL_1.gif

image: 78_home_faure_enseignement_Systemes_dynamiques____ons_chap_flot_lorenz_lorenz_animation_TCL_2.gif

2.6 “Théorème de la limite centrale” pour le Modèle aléatoire de “Pile ou Face”

On observe ici la distribution des valeurs de:

(S ϕ) (t) : = \sum_{t' = 1}^{t} ϕ_{t'}

où chaque valeur

ϕ_{t'} = \pm 1

est choisi aléatoirement avec probabilité

1 / 2

Cette distribution converge pour

t \to \infty

vers une Gaussienne de largeur

D \sqrt{t}

où

D

est le “coefficient de diffusion”. On calcule

D = 1

Voici les valeurs de $(S ϕ) (t)$ en fonction de $t \leq 30$ et pour trois réalisations. On affiche aussi l'histogramme des valeur de $(S ϕ) (t)$ pour $t = 30$ .

image: 79_home_faure_enseignement_Systemes_dynamiques____s_chap_flot_lorenz_pile_face_animation_TCL1.gif

Voici les valeurs de $(S ϕ) (t)$ en fonction de $t \leq 1000$ et pour trois réalisations. On affiche aussi l'histogramme des valeur de $(S ϕ) (t)$ pour $t = 1000$ .

image: 80_home_faure_enseignement_Systemes_dynamiques____s_chap_flot_lorenz_pile_face_animation_TCL3.gif

Voici les valeurs de $(S ϕ) (t)$ en fonction de $t \leq 1000$ et pour $n \leq 1000$ réalisations. On affiche l'histogramme des valeur de $(S ϕ) (t)$ pour $t = 1000$ et en fonction du nombre de réalisations $n$ . On observe en effet que le coefficient de Diffusion est $D = 1$ .

image: 81_home_faure_enseignement_Systemes_dynamiques____s_chap_flot_lorenz_pile_face_animation_TCL2.gif

Chapter 3 Morphogenese

3.1 Modele de Swith-Honenberg

On part d'une configuration aléatoire. La courbe noire est la solution théorique sous la forme

u (x) = A cos (x)

avec amplitude

A = \sqrt{\frac{4}{3} r}

valable pour

r ≪ 1

image: 82_home_faure_enseignement_Systemes_dynamiques_M1_Animations_chap_morphogenese_SH_1D_r_0_2.gif

image: 83_home_faure_enseignement_Systemes_dynamiques_M1_Animations_chap_morphogenese_SH_1D_r_1.gif

image: 84_home_faure_enseignement_Systemes_dynamiques_M1_Animations_chap_morphogenese_SH_1D_r_3.gif

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Table of Contents

Chapter 1 Introduction

1.1 The pendulum

1.1.1 Pendule simple avec amortissement

1.1.2 Pendule entretenu

1.2 The logistic map

1.2.1 Evolution d'un point par l'application logistique (trajectoire) en fonction du temps

1.2.2 Evolution de l'ensemble attracteur en fonction de $μ$

1.2.3 Ensemble attracteur (bleu) et repulsif (vert) dans le plan complexe en fonction de $μ$

1.3 Le billard de Sinaï

1.3.1 1 bille et sur le plan (recouvrement universel)

1.3.2 $N = 1 0^{4}$ billes indépendantes avec des conditions initiales très proches $Δ y = 1 0^{- 4}$

1.4 Dynamique spatio-temporelle

1.4.1 Evolution de la première composante $ϕ_{1}$ pour la réaction B.Z.

1.4.2 Images aux périodes $T = 12$ , afin de montrer la convergence vers un cycle limite

Chapitre 2 Le moulin de Lorenz et son attracteur étrange

2.1 Flot de Lorenz d'une particule

2.2 Flot de Lorenz et champ de température et de vitesse

2.3 SRB equilibrium measure, Ergodicity.

Temps courts:

Temps plus longs:

2.4 Mélange dans le flot de Lorenz

2.5 Central Limit Theorem

2.6 “Théorème de la limite centrale” pour le Modèle aléatoire de “Pile ou Face”

Chapter 3 Morphogenese

3.1 Modele de Swith-Honenberg

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Programs:

Table of Contents

Chapter 1 Introduction

1.1 The pendulum

1.1.1 Pendule simple avec amortissement

1.1.2 Pendule entretenu

1.2 The logistic map

1.2.1 Evolution d'un point par l'application logistique (trajectoire) en fonction du temps

1.2.2 Evolution de l'ensemble attracteur en fonction de μ

1.2.3 Ensemble attracteur (bleu) et repulsif (vert) dans le plan complexe en fonction de μ

1.3 Le billard de Sinaï

1.3.1 1 bille et sur le plan (recouvrement universel)

1.3.2 N=1 0 4 billes indépendantes avec des conditions initiales très proches Δ y=1 0 -4

1.4 Dynamique spatio-temporelle

1.4.1 Evolution de la première composante ϕ 1 pour la réaction B.Z.

1.4.2 Images aux périodes T=12 , afin de montrer la convergence vers un cycle limite

Chapitre 2 Le moulin de Lorenz et son attracteur étrange

2.1 Flot de Lorenz d'une particule

2.2 Flot de Lorenz et champ de température et de vitesse

2.3 SRB equilibrium measure, Ergodicity.

Temps courts:

Temps plus longs:

2.4 Mélange dans le flot de Lorenz

2.5 Central Limit Theorem

2.6 “Théorème de la limite centrale” pour le Modèle aléatoire de “Pile ou Face”

Chapter 3 Morphogenese

3.1 Modele de Swith-Honenberg

1.2.2 Evolution de l'ensemble attracteur en fonction de $μ$

1.2.3 Ensemble attracteur (bleu) et repulsif (vert) dans le plan complexe en fonction de $μ$

1.3.2 $N = 1 0^{4}$ billes indépendantes avec des conditions initiales très proches $Δ y = 1 0^{- 4}$

1.4.1 Evolution de la première composante $ϕ_{1}$ pour la réaction B.Z.

1.4.2 Images aux périodes $T = 12$ , afin de montrer la convergence vers un cycle limite