(en Master 1, Master 2 de physique)

2 Présentation

2.1 Objectifs:

L’objectif de ce cours de fournir aux étudiants de physique en Master 1, un cours sur les outils mathématiques utilisés dans leur cursus de physique. Ce cours fait suite et propose une continuité à un cours similaire dispensé en Licence 3 de mathématiques pour la physique en L3.

Ce cours est aussi suivit par un cours plus approfondi en Master 2 spécifiquement sur la Géométrie et Topologie pour la physique en Master 2.

On se concentrera sur des notions de mathématiques qui sont directement utilisées en physique. On utilisera le langage mathématique (avec définitions, théorèmes, preuves données la plupart des cas, sinon avec des références précises) afin d’une part de montrer que la démarche mathématique est basée sur une construction précise qui est confrontée à la logique (alors que la démarche physique est confrontée à l’expérience), mais aussi pour fournir aux étudiants une formation leur permettant d’accéder aux livres de mathématiques s’il souhaitent compléter leur connaissances.

2.2 Contenu des séances:

Une séance est structurée en deux parties de 1h30 (séparée par une pause):
- Dans la première partie, c’est un cours collectif "traditionnel" avec exercices sur un des thèmes ci-dessous.
- Dans la deuxième partie, les étudiants travaillent en petits groupes (par 2 ou 3) et travaillent sur un projet qu’ils ont choisi en début d’année et qu’ils présenteront sous forme de compte rendu et exposé en fin de cycle. L’enseignant est présent pour encadrer et discuter individuellement.
Quelques aspects d’analyse. Régularité des fonctions, des fonctions continues Hölder aux fonctions analytique. Distributions. Transformation par ondelette. Introductions aux EDP ( = Equations aux Dérivées Partielles).
Quelques aspects d’algèbre linéaire et théorie des opérateurs. Spectre, forme normale de Jordan, pseudo-spectre, résolvente. Opérateurs de rang fini, à trace, Hilbert-Schmidt, compacts, bornés, non bornés. Noyau de Schwartz d’un opérateur sur un espace fonctionnel. Fonction de Green.
Bases de la géométrie différentielle, appliquée à la physique: formes différentielles, calcul extérieur, tenseur métrique, Laplacien de Hodge, equations de Maxwell en relativité, connections sur un fibré vectoriel, dérivée covariante, théorie de Jauge.

2.3 Validation. Contrôle des connaissances.

Un contrôle continu régulier et très léger (exercices simples) afin de garantir une assiduité au cours. De plus chaque étudiant fera à la fin un exposé de 15mn sur un sujet de son choix (voir Section 4).

3 Exercices de TD

3.1 TD Algèbre linéaire

TD1: "Algèbre linéaire". Enoncé.

3.2 TD géométrie différentielle et physique

TD. 1: champs de vecteurs, 1-formes. Enoncé. Solutions.
TD. 2: métrique $g$ et forme symplectique $Ω$ . Enoncé. Solutions.
TD. 3: tenseurs. Enoncé. Solutions.
TD. 4: formes différentielles. Enoncé. Solutions.
TD. 5: géométrie (pseudo) Riemanienne et électromagnétisme Enoncé. Solutions.
TD. 6: théorie des champs de Jauge: modèles de Yang Mills Enoncé. Solutions.
TD. 7: Connection de Levi-Civita Enoncé. Solutions et voir solutions de cette section TD1

à venir:

connexion de Levi-Civita sur le fibré tangent d’une variété Riemannienne. Géodésiques, Tenseur de courbure de Riemann.
champ de matière, champ de Jauge et gravitation: le modèle d’Einstein de la physique
Modèle d’expansion d’un univers homogène de Robertson Walker. Le « big bang ».
Introduction à la quantification géométrique, une formulation géométrique de la mécanique quantique.

4 Exposés et documents

4.1 Analyse

Fractales
Transformation de F.B.I., de Bragman, transformation par ondelettes.
Phase stationnaire et autres formules asymptotiques (Lemme de Watson)

4.2 Systèmes dynamiques

Chaos, spectre de résonances de Ruelle. Convergence vers l’équilibre. Entropie.

4.3 Géométrie

Voir ici une liste de sujets possibles en géométrie/topologie pour la physique.
Pendule de Foucault et transport parallèle. Voir le début de ces notes de cours et l’article de Bourguignon sur cette même page web.
Courbure Holonomie, chute du chat
Formes différentielles et thermodynamique. Livre de Bamberg et Sternberg. chap.22
Equations de Maxwell d’électromagnétisme et géométrie différentielle, géométrie Riemanienne. Voir les notes de ce cours. (à venir)
Equation de Hamilton et géométrie différentielle, géométrie symplectique. Voir ces notes de cours page 135, et références citées.
Equations d’Einstein et géométrie Riemanienne.
Equations de Dirac et géométrie riemanienne, spineurs.

Le flot géodésique sur la surface hyperbolique modulaire et les propriétés des nombres

L’objectif est de relié le developpement en fractions continues d’un nombre

x \in R

et les propriétés d’une géodésique sur la surface modulaire

M = {S L}_{2} Z \ H^{2}

Il y aura besoin de comprendre l’application de Gauss en systèmes dynamiques qui est une « section de Poincaré » du flot géodésique. Voir opérateur de Gauss.

Article de référence: C. Series geometry of Makoff numbers, modular surface and continued fractions.

Etapes de l’étude:

Propriétés des nombres et fractions continues. Relation avec l’application de Gauss $G : x \in [0, 1] \to 1 / x mod 1 \in [0, 1]$ .
Flot géodésique
1. Etude du flot géodésique sur la surface hyperbolique appelée disque de Poincaré $H^{2}$ .
2. Construction de la surface modulaire $M = {S L}_{2} Z \ H^{2}$ .
3. Section de Poincaré: l’application de Gauss $G : x \in [0, 1] \to 1 / x mod 1 \in [0, 1]$ .

4.4 Théorie des groupes

Le groupe de Heisenberg et les états cohérents standard. Lire le livre "LeBellac Physique Quantique" p.386 ou notes de cours p.90, et l’article "Zhang et al. Coherent states and some applications" chap.II, et Livre "Perelomov, Generalized coherent states" page 8.
Le groupe SU(3) et le modèle des quarks. The "eight fold way". Voir Livres "Perkins High energy physics" page 109, "Sternberg, Group theory and physics" p.275,p.284 et " "Marleau, Introduction à la physique des particules" chap.6.
Le groupe des tresses. Exposé introductif de M. Eisermann 2008, sur les tresses et les neuds.