Sujets d'exposés pour le cours "Géométrie et topologie pour la physique"

Université de Grenoble alpes
Enseignant: Frédéric Faure.

Table of Contents

Proposition de sujets

Travail demandé:

Le travail est individuel ou en binome.
Chaque sujet est accompagné d'un énoncé assez précis. Il y a deux parties:
  1. Une feuille de type exercice est donnée, avec des questions précises et des calculs à faire.
  2. Dans la deuxieme partie, on demande une recherche documentaires (à l'aide d'internet), sur le sujet proposé et ses extensions possibles. (2-3 pages)
  3. En plus des comptes rendus précédents, l'étudiant(e) fera un exposé oral devant les autres étudiants, de 15mn-20mn.

Proposition de sujets

Les géodésiques dans la métrique de Schwartzchild sur l'espace-temps

Objectif:
étude du mouvement d'une planète ou d'un rayon lumineux autour d'une étoile ou d'un trou noir. Dans le cadre de la relativité générale, l'étoile déforme l'espace temps autour d'elle. Une planète ou un rayon, lumineux ne subit pas directement une force (gravitation) de la part de l'étoile, mais avance ”le plus droit possible” dans cet espace courbe. On dit que sa trajectoire est une géodésique. Dans un premier temps: étude des géodésiques sur une surface (2D) courbe; Puis étude de la trajectoire d'une planète. Observation du mouvement elliptique (Newton), mouvement du périhélie, inflexion des rayons lumineux, décalage gravitationel de la lumière vers le rouge, effet du trou noir. Pour les indications physiques, voir le cours de mécanique analytique et surtout l'exercice 2 et sa solution du TD6 de mécanique analytique (L3).
Références de livres:

Le modèle d'expansion de l'univers de Friedman-Lemaitre

Références:
Chapitre “Modèles cosmologiques en relativité générale”, dans le chapitre 5 du cours.

Modèle de l'espace temps de Vlasov-Maxwell-Einstein

Voir notes du cours Math. pour la physique, chapitre 21.3.3.

Matériaux topologiques

Etudier les articles suivants:

Electromagnétisme. Effet Aharanov-Bohm. Monopole magnétique.

Références: Nakahara "geometry topology and physics", Choquet Bruhat "Analysis, geometry and physics".
Partie I (Exercices)
Dans un modèle d'électron quantique couplé à un champ électromagnétique externe.
On montrera une description géométrique du couplage, où le champ électromagnétique est décrit comme une connexion sur un fibré complexe de rang 1, et la fonction d'onde de l'electron est une section de ce fibré.
On décrira les effets d'interférence dans l'expérience d'Aharanov Bohm comme manifestation de l'holonomie sur ce fibré.
On montrera qu'une singularité topologique de ce fibré s'interpréte comme un monopole magnétique, et que cela implique une "quantification" de la charge électrique. (NB: le monopole magnétique n'a pas été observé).
Partie II (Recherche documentaire)
L'électromagnétisme comme théorie de Jauge. Description des autres théories de Jauge (force faible, forte)
Quantification des théories de Jauge. Les différentes issues.
Théories de Jauge et mathématiques (Witten, Donaldson,...). Topologie quantique.

Modèle simple d'effet Hall quantique entier

6.1 Partie I (Exercices)

On modèlise des électrons sans interaction dans le plan x,y , et soumis à un champ magnétique transverse.
  1. En mécanique classique, on montrera que les électrons ont des trajectoires circulaires (cyclotron).
  2. En mécanique quantique, on montrera que le spectre est constitué de niveaux discrets appelés niveaux de Landau, et on montrera une description geometrique de ces niveaux: grâce à l'invariance par translation du problème, chaque niveau de Landau est un fibré de rang 1 sur la zone de Brillouin. L'indice de Chern de ce fibré est C=+1 .
  3. Si un faible champ electrique transverse E x est rajouté selon x , on montrera en mécanique classique que cela induit un courant J y selon y , donné par J y = σ xy E x , où σ xy est la conductivité de Hall.
En mécanique quantique, on montrera que la conductivité est donnée par: σ xy =CN e 2 h C=+1 est l'indice de Chern, N est le nombre (entier) de niveaux de Landau remplis. On comparera le résultat classique et quantique.

6.2 Partie II (Recherche documentaire)

Effets topologiques dans les systèmes lents-rapides couplés. Manifestation de la formule de l'indice d'Atiyah-Singer.

Partie I (Exercices)
On considère un modèle simple de deux moments angulaires J et S couplés, où J est rapide, et S est lent.
La dynamique est décrite par un Hamiltonien H(S,J,l) où l est un parametre extérieur.
Dans une description "semi-quantique", où S est quantique, et J est classique, on montrera qu'il y a un espace fibré sur la sphere (de J). On calculera les indices de Cherns.
On démontrera un théorème adiabatique qui démontre que le spectre quantique de H est formé de bandes.
Dans une description quantique, on calculera le spectre de H dans des cas simples. (H=S ou H=J.S), et on déduira une relation possible entre le nombre de niveaux dans une bande et l'indice de Chern. Cette relation est un cas particulier de la formule "d'Atiyah-Singer".
On établira un modèle local pour les transitions topologiques, qui permet de démontrer la relation obtenue en (3).
Partie II (Recherche documentaire)
Description de spectres moléculaires expérimentaux rotationnels-vibrationnels montrant ces effets topologiques.
Discussion d'extensions possibles.

Le théorème adiabatique en mécanique quantique.

Un système adiabatique est un système physique pour lequel le(s) paramètre(s) extérieur(s) varie(nt) lentement au cours du temps.
Partie I (Exercices)
On fera une démonstration complète du théorème adiabatique en mécanique quantique dans le cas d'un niveau isolé. (En utilisant des vecteurs). Document1.
On généralisera le résultat précédent dans le cas de N niveaux isolé du reste du spectre par un gap. (Pour cela, on utilisera des projecteurs spectraux).
On établira la formule de Landau-Zener qui décrit les transitions non adiabatiques dans un cas simple.
Partie II (Recherche documentaire)
Exemples de systèmes adiabatiques en physique. Relation avec la phase de Berry.
Le théorème adiabatique en mécanique classique, pour les systèmes intégrables, et exemples.
Montrer que le théorème adiabatique s'inscrit naturellement dans le cadre de l'analyse semi-classique et du calcul symbolique, et se démontre alors simplement. (ref: Sjöstrand CRAS 1993)

Effets topologiques en géophysique, dans les ondes équatoriales

Ce sujet concerne les courants atmosphèriques et océaniques circulant près de l'équateur et appelés ondes équatoriales, comme le célèbre “el nino”.. Il y a différents modèles et certaines portent des noms des découvreurs: ondes de Kelvin, ondes de Rossby, ondes de Yanai.
L'analyse qui suit commence avec l'équation de “Navier stokes en eaux peu profondes et près de l'équateur” (Shallow water), c'est une équation linéaire.
Voici des références:

Les états cohérents en mécanique quantique et relation quantique-classique

Un état cohérent est un paquet d'onde gaussien.
Partie I (Exercices)
On montrera que les états cohérents forment une famille d'états quantique que l'on peut décrire comme un fibré sur l'espace de phase (q,p), et dont la courbure est la forme (dqdp)/h (l'action classique).
Evolution d'un état cohérent pour une dynamique simple comme l'oscillateur harmonique.
Dans le cas d'une dynamique où les trajectoires sont fermées, on montrera que les conditions de quantification de Bohr-Sommerfeld sont équivalentes à écrire que l'holonomie est nulle.
On étudiera de la même façon les états cohérents du moment angulaire J, et on montrera que l'espace de phase est la sphère S2.
On montrera que le fibré sur la sphère est non trivial et d'indice de Chern C=-2j.
Etude de la dynamique et du spectre pour le Hamiltonien H(J)=B.J
Partie II (Recherche documentaire)
Les états cohérents associés à des groupes de symétrie.
Importance des états cohérents en physique (en optique quantique, on théorie de la supraconductivité, en théorie de la décohérence...)
Aspects holomorphes des états cohérents. Généralisation en géométrie complexe, et quantification géométrique.

Autres thèmes possibles (non détaillés)

Physique quantique:
Les singularité topologiques de monodromie en mécanique classique ou quantique
Relation entre phase géométrique de Berry (quantique) et phase de Hannay (classique)
Etude du "point diabolique" du graphène. Conséquence: ses propriétés remarquables.
Aspects topologiques en théorie quantique des champs: les instantons, les anomalies, le problème du vide en QCD.
le calcul quantique holonome : l'idée de réaliser des opérations logiques (comme le CNOT) par une évolution de paramètres contrôlables et des sous-espaces dégénérés. Un bref article facilement lisible, sur arXiv quant-ph/0504205v1
Relativité ou cosmologie:
Dynamique dans l'espace temps de Schwarchild.
Dynamique de l'univers dans le modèle de Friedmann.
Présentation de la théorie relativité générale dans le cadre de la géométrie différentielle et géométrie Riemannienne.
La topologie de l'Univers: la relativité générale ne nous donne que des informations géométriques (-> différentes topologies possibles, possibilités d'Univers finis et infinis,etc...). Roland Lehoucq et Jean-Pierre Luminet ont écrit plusieurs ouvrages amusants sur le sujet (L'univers chiffoné, L'univers a-t-il une forme ?), et des articles dans des revues de vulgarisation, comme : http://luth2.obspm.fr/~luminet/ITVRecherche.pdf
voir aussi : http://arxiv.org/PS_cache/astro-ph/pdf/9801/9801225v1.pdf
Mécanique:
La phase de Berry dans la description du "corps rigide" (article de R.Montgomery).
Description géométrique en terme d'espace fibré de la nage d'une cellule, ou de la chute d'un chat sur ses pattes. (Utilisation en robotique)
Acoustique:
Reconnaissance du timbre de la voix ou d'un instrument en analysant la forme de l'onde ("wave form"). Application
Topologie en musique et en harmonie: mouvement des accords sur le réseau tonnetz qui a de la topologie.