en Licence
3 de physique, par Frédéric
Faure, Université Joseph Fourier.
Dernière mise à jour: 1
septembre 2011
Travaux dirigés et sujets d'examen (énoncés et corrigés)
Télécharger les Notes de Cours "Mécanique Analytique".
Chapitre 1 De la formulation Newtonienne à la formulation Hamiltonienne de la mécanique
Chapitre 2 Déterminisme et chaos. Introduction
Chapitre 3 Principe variationel et formulation Lagrangienne de la mécanique
Chapitre 4 Formalisme Hamiltonien de la mécanique
Chapitre 5 Théorie des perturbations et théorie adiabatique
TD 1: Enoncé. Solutions. "Systèmes à 1 degré de liberté. Diagramme de phase I".
TD 2: Enoncé. Solutions. "Systèmes à 1 degré de liberté. Diagramme de phase II".
TD 3: Enoncé. Solutions. "Systèmes à 2 degrés de liberté. Billards et Sections de Poincaré".
TD 4: Enoncé. Solutions. "Modèle de dynamique chaotique. Du principe variationel au Hamiltonien (I)".
TD 5: Enoncé. Solutions. "Du principe variationel au Hamiltonien (II)".
TD 6: Enoncé. Solutions. "L'attraction gravitationnelle en mécanique de Newton et en relativité générale"
TD 7: Enoncé. Solutions. "Le problème à 3 corps restreint. Les points de Lagrange".
TD 8: Enoncé. Solutions. "Transformations canoniques. Particule en champ magnétique. Oscillateurs couplés.".
TD 9: Enoncé. Solutions. Variables Angles-Action. Invariants adiabatiques".
Examen de mi-parcours 2009-10. Enoncé. Solutions. (1) Un ruban qui glisse. (2) Lagrangien et Hamiltonien dans un référentiel tournant.
Examen final 2009-10. Enoncé. Solutions. (1) Rebonds parfaits entre murs qui bougent. (2) Transformations linéaires des coordonnées. (3) Modes normaux du pendule double.
Examen final 2010-11. Enoncé. Solutions (1) OScillations d'un système mécanique. (2) Précession des équinoxes.
Examen de mi-parcours 2011-12. Enoncé. Solutions (1) Objet glissant sur une table attaché à une masse pesante. (2) Lagrangien d'une particule chargée. (3) Dynamique d'une bille dans un billard formant un angle.
Examen final 2011-12. Enoncé. Solutions (1) Ressort et plan incliné. (2) Chaine périodique d'oscillateurs.
Le film "chaos" de Etienne Ghys et al.
Modèle du chat d'Arnold et vidéo de la dynamique d'un point.
"Chaos, imprédictibilité, hasard" Conférence de David Ruelle, université de tous les savoirs, 2000.
Une erreur féconde du mathématicien Henri Poincaré. Par Jean-Christophe Yoccoz
"Résonances et petits diviseurs, L'héritage scientifique de Kolmogorov" Par Etienne Ghys.
Korsh "chaotic billards".
Conférence sur le chaos déterministe.
Sur les points de Lagrange.
Sur le problème à 3 corps.
La “ mécanique analytique ” ou “ mécanique
classique ” est une théorie physique fondamentale qui permet
de décrire le mouvement des “ corps ” lorsqu'ils interagissent
entre eux (particules, corps solides, ondes électromagnétiques,
fluides, milieux continus), valable de l'échelle des molécules à
l'échelle des planètes. Cette théorie a été développée
principalement par:
1. Newton (1684): formulation
en terme de forces.
2. Lagrange (1787) et Hamilton
(1827): formulation variationnelle: le mouvement effectué est
celui qui optimise une certaine “ action ” (comme le chemin le
plus court entre deux point). C'est une formulation aussi très
géométrique qui permet de comprendre et résoudre des problèmes
plus compliqués.
3. Maxwell (1865): dynamique des
ondes électromagnétiques et des corps chargés en interaction. Les
équations de Maxwell s'expriment aussi avec la formulation de
Lagrange et Hamilton.
4. Einstein (1905, 1917): “
théorie relativiste ”: modification de la théorie précédente,
en “ unifiant“ l'espace et le temps, et en fournissant une
expression géométrique de la gravitation.
Dans ce cours
on étudiera essentiellement les formulations (2) de Lagrange et
Hamilton. On apprendra des techniques pour résoudre des problèmes
précis. On fera des rappels sur (1), et on abordera (3) et (4).
Une caractéristique de la “ mécanique classique ” est
qu'elle est déterministe: en principe, en connaissant la
position et la vitesse de tous les corps à un instant donné, on
peut prédire leur mouvement passé et futur.
Poincaré
(1900) a cependant montré que ces mouvements peuvent être
chaotiques et complexes, c'est à dire d'apparence désordonnée
et en pratique imprévisibles.
Dans le cours, on abordera
les problèmes de prédiction du mouvement et quelques résultats de
la théorie du chaos qui introduit une description
probabiliste du mouvement, à la base de la physique statistique
et de la thermodynamique.
La “ mécanique classique ” a été bouleversée par la
théorie de la mécanique quantique, qui est une description
ondulatoire et probabiliste des corps développée après 1920,
et indispensable à l'échelle atomique. La formulation de Hamilton
est très importante dans la théorie quantique. (voir cours de L3 et
M1).