Cours et TD de Mécanique Analytique

en Licence 3 de physique, par Frédéric Faure, Université Joseph Fourier.
Dernière mise à jour: 1 septembre 2011

• Notes de cours

• Travaux dirigés et sujets d'examen  (énoncés et corrigés)

• Documents annexes et lectures conseillées

Présentation du cours

Notes de cours

• Télécharger les Notes de Cours "Mécanique Analytique".

Plan

• Chapitre 1 De la formulation Newtonienne à la formulation Hamiltonienne de la mécanique

• Chapitre 2 Déterminisme et chaos. Introduction

• Chapitre 3 Principe variationel et formulation Lagrangienne de la mécanique

• Chapitre 4 Formalisme Hamiltonien de la mécanique

• Chapitre 5 Théorie des perturbations et théorie adiabatique

Travaux dirigés et examens

• TD 1: Enoncé. Solutions. "Systèmes à 1 degré de liberté. Diagramme de phase I".

• TD 2: Enoncé. Solutions.  "Systèmes à 1 degré de liberté. Diagramme de phase II".

• TD 3: Enoncé.  Solutions.  "Systèmes à 2 degrés de liberté. Billards et Sections de Poincaré".

• TD 4: Enoncé.  Solutions. "Modèle de dynamique chaotique. Du principe variationel au Hamiltonien (I)".

• TD 5: Enoncé.  Solutions. "Du principe variationel au Hamiltonien (II)".

• TD 6:  Enoncé. Solutions. "L'attraction gravitationnelle en mécanique de Newton et en relativité générale"

• TD 7:  Enoncé.  Solutions. "Le problème à 3 corps restreint. Les points de Lagrange".

• TD 8:  Enoncé. Solutions. "Transformations canoniques. Particule en champ magnétique. Oscillateurs couplés.".

• TD 9: Enoncé. Solutions. Variables Angles-Action. Invariants adiabatiques".

• TD :  Enoncé.  Solutions.  "Champ de vecteur, flots et crochets de Poisson".

•     Examen de mi-parcours 2009-10.  Enoncé. Solutions. (1) Un ruban qui glisse. (2) Lagrangien et Hamiltonien dans un référentiel tournant.

•     Examen final 2009-10.  Enoncé. Solutions.    (1) Rebonds parfaits entre murs qui bougent. (2) Transformations linéaires des coordonnées. (3) Modes normaux du pendule double.

•     Examen de mi-parcours 2010-11.  Enoncé. Solutions  Le pendule inversé oscillant.

•     Examen final 2010-11.  Enoncé. Solutions (1) OScillations d'un système mécanique. (2) Précession des équinoxes.

•     Examen de mi-parcours 2011-12.  Enoncé. Solutions (1) Objet glissant sur une table attaché à une masse pesante. (2) Lagrangien d'une particule chargée. (3) Dynamique d'une bille dans un billard formant un angle.

•     Examen final 2011-12.  Enoncé. Solutions (1) Ressort et plan incliné. (2) Chaine périodique d'oscillateurs.

Documents annexes et lectures conseillées.

Chapitre 2 "Chaos déterministe":

• Le film "chaos" de Etienne Ghys et al.

• Exposé sur Billard chaotique. (vidéo)

• Modèle du chat d'Arnold et vidéo de la dynamique d'un point.

• "Chaos, imprédictibilité, hasard" Conférence de David Ruelle, université de tous les savoirs, 2000.

• Une erreur féconde du mathématicien Henri Poincaré. Par Jean-Christophe Yoccoz

• "Résonances et petits diviseurs, L'héritage scientifique de Kolmogorov" Par Etienne Ghys.

• Korsh "chaotic billards".

• Conférence sur le chaos déterministe.

TD 9: Le problème à 3 corps

• Sur les points de Lagrange.

• Sur le problème à 3 corps.

Introduction

Description de la “ mécanique analytique ”

La “ mécanique analytique ” ou “ mécanique classique ” est une théorie physique fondamentale qui permet de décrire le mouvement des “ corps ” lorsqu'ils interagissent entre eux (particules, corps solides, ondes électromagnétiques, fluides, milieux continus), valable de l'échelle des molécules à l'échelle des planètes. Cette théorie a été développée principalement par:

1. Newton (1684): formulation en terme de forces.

2. Lagrange (1787) et Hamilton (1827): formulation variationnelle: le mouvement effectué est celui qui optimise une certaine “ action ” (comme le chemin le plus court entre deux point). C'est une formulation aussi très géométrique qui permet de comprendre et résoudre des problèmes plus compliqués.

3. Maxwell (1865): dynamique des ondes électromagnétiques et des corps chargés en interaction. Les équations de Maxwell s'expriment aussi avec la formulation de Lagrange et Hamilton.

4. Einstein (1905, 1917): “ théorie relativiste ”: modification de la théorie précédente, en “ unifiant“  l'espace et le temps, et en fournissant une expression géométrique de la gravitation.

Dans ce cours on étudiera essentiellement les formulations (2) de Lagrange et Hamilton. On apprendra des techniques pour résoudre des problèmes précis. On fera des rappels sur (1), et on abordera (3) et (4).

Déterminisme et chaos:

Une caractéristique de la “ mécanique classique ” est qu'elle est déterministe: en principe, en connaissant la position et la vitesse de tous les corps à un instant donné, on peut prédire leur mouvement passé et futur.

Poincaré (1900) a cependant montré que ces mouvements peuvent être chaotiques et complexes, c'est à dire d'apparence désordonnée et en pratique imprévisibles.

Dans le cours, on abordera les problèmes de prédiction du mouvement et quelques résultats de la théorie du chaos qui introduit une description probabiliste du mouvement, à la base de la physique statistique et de la thermodynamique.

Relation avec la mécanique quantique:

La “ mécanique classique ” a été bouleversée par la théorie de la mécanique quantique, qui est une description ondulatoire et probabiliste des corps développée après 1920, et indispensable à l'échelle atomique. La formulation de Hamilton est très importante dans la théorie quantique. (voir cours de L3 et M1).