A propos de la relation galoisienne $x_1=x_2+x_3$

Soient $k$ un corps de caractéristique $0$, $G$ un groupe fini et $H$ un sous-groupe de $G$. L'existence d'une extension galoisienne $L/k$ de groupe $G$ et d'un élément primitif $x$ du corps $L^H$ fixé par $H$ dont les conjugués sur $k$ vérifient une relation linéaire $\sum a_ix_i=0$ ne dépend que de la paire $(G,H)$ et s'étudie naturellement dans le $k[G]$-module $k[G/H]$. Par sa simplicité, la relation $x_1=x_2+x_3$ a re\c cu une attention particulière au cours des dernières années.

Le sous-groupe $H$ joue un rôle essentiel. Lorsque $H=1$, un résultat d'Oesterlé affirme qu'il est toujours possible d'obtenir la relation $x_1=x_2+x_3$ dès que l'ordre de $G$ est un multiple de $6$ alors qu'on ne connait aucune telle relation pour une paire $(G,H)$ primitive, c'est à dire lorsque $H$ est maximal.

Nous commencerons par rappeler les résultats les plus classiques sur le sujet pour ensuite regarder plus en détail la relation $x_1=x_2+x_3$, notamment dans le cas primitif.