100, rue des maths 38610 Gières / GPS : 45.193055, 5.772076 / Directeur : Thierry Gallay

Algèbre et géométries

Membres : 

Membres permanents

Claire Amiot (MCF), Grégory Berhuy (PR), Thierry Bouche (MCF), Catherine Bouvier (PRAG), Michel Brion (DR), Monique Decauwert (MCF Chambéry, retraitée), Jean-Pierre Demailly (PR), Martin Deraux (MCF HDR), Stéphane Druel (CR HDR), Philippe Elbaz-Vincent (PR), Philippe Eyssidieux (PR), Jean Fasel (PR), Hervé Gaussier (PR), Damien Gayet (PR), Odile Garotta (MCF), Estanislao Herscovich (MCF), Siegmund Kosarew (PR), Christine Laurent (PR, retraitée), Yves Laurent (DR), Catriona Maclean (MCF), Bernard Malgrange (DR émérite),  Hélène Maugendre (MCF), Marcel Moralès (PR IUFM Lyon), Chris Peters (PR, retraité), Emmanuel Peyre (PR), Zhiyu Tian (CR), Vanessa Vitse (MCF), Mikhail Zaidenberg (PR, retraité).

Doctorants

Raphaël Achet (sept. 2014, dir. M. Brion), Abdelwhaed Chrih (sept. 2015, dir. H. Gaussier et F. Haggui), Ya Deng (sept. 2014, dir. J.-P. Demailly), Sébastien Gontard (sept. 2015, dir. H. Gaussier), Bruno Laurent (sept. 2015, dir. M. Brion), Louis-Clément Lefèvre (sept 2014, dir. P. Eyssidieux), Thomas Letendre (sept. 2012, dir. D. Gayet), Pedro Montero Silva (sept. 2014, dir. S. Druel et C. Maclean), Alejandro Rivera (sept. 2016, dir. D. Gayet), Nanjun Yang (oct. 2015, dir. Jean Fasel).

Post-doctorants et Invités (2012 - )

C. Araujo (06/12, 09/14, S. Druel), Narasimha Chary (10/16 - 10/17, M. Brion), Young-Jun Choi (2016, J.-P. Demailly), Li Duo (15/03/14 - 15/03/15, M. Brion), Flaminio Flamini (03/07/16 - 07/07/16, M. Zaidenberg), Hubert Flenner (03/13 - 05/13, M. Zaidenberg), Mickael Friedman (10/13 - 10/14, M. Zaidenberg), Boris Hanin (25/04/16-29/04/16, D. Gayet), Pham Hoang Hiep (09/11 - 08/12, J.-P. Demailly), Kang-Tae Kim (15/01/16 - 15/02/16, H. Gaussier), Daniel Labardini Fragoso (06/14, C. Amiot), Qifeng Li (01/01/13 - 31/12/13, S. Druel), Satyagopal Mandal (25/05/15 - 29/06/15, J. Fasel), Thai Nguyen (06/16, M. Morales), Pierre-Guy Plamondon (06/16, C. Amiot), Yuri Prokhorov (06/14, 06/16, M. Zaidenberg), Andriy Regeta (4/16 - 10/17, M. Brion et M. Zaidenberg), Preena Samuel (15/09/14 - 15/09/15, M. Brion), Nguyen Thi Dung (06/16, M. Morales), Le Truong Hoang (06/16, M. Morales), Masaki Tsukamoto (01/09/15 - 29/09/15, H. Gaussier), Benjamin Wyser (01/01/14 - 31/12/15, M. Brion), Yong Yang (15/01/2016-15/01/2017, J. Fasel), Tao Zheng (2016, J.-P. Demailly).

Présentation : 

Les principaux axes de recherche peuvent être regroupés en cinq grands sous-thèmes :

  • Algèbre, algèbre homologique, théorie des représentations ;
  • Étude des solutions de systèmes d'équations aux dérivées partielles sur une variété analytique complexe ;
  • Géométrie algébrique ou analytique ;
  • Groupes algébriques et géométrie ;
  • Singularités.

Ces sous-thèmes ne sont évidemment pas disjoints. L’interaction entre les membres de l’Institut Fourier concernés par ces directions de recherche se fait entre autres par le biais du séminaire hebdomadaire, animé par les membres du thème et organisé par Jean Fasel et Philippe Eyssidieux, qui se déroule sur deux séances : le lundi de 10h30 à 11h30, puis de 14h à 15h.

Algèbre, algèbre homologique, théorie des représentations

La thématique de recherche de C. Amiot est la théorie des représentations des algèbres non commutatives. Au sein de cette thématique plusieurs aspects sont étudiés, d'un côté les représentations de carquois et la théorie d'Auslander-Reiten, d'un autre les catégories dérivées avec des outils provenant de l'algèbre homologique ou de la théorie du basculement (tilting) et enfin les catégories en lien avec la combinatoire des algèbres amassées (cluster).

G. Berhuy s'intéresse à l'étude des invariants de structures algébriques (groupes, algèbres, variétés, formes quadratiques, etc.). Étant donné une classe d'objets mathématiques, munie d'une relation d'isomorphisme, un invariant est une quantité à valeurs dans un groupe abélien qui est constante sur les classes d'isomorphismes. Cet invariant peut être discret (à valeurs entières), ou cohomologique (à valeurs dans un groupe de cohomologie bien choisi).

La théorie des représentations n'’est pas étrangère aux préoccupations de M. Brion.

J. Fasel s'intéresse à la classification des fibrés vectoriels sur des schémas affines lisses sur un corps non nécessairement algébriquement clos. Les techniques qu'il utilise proviennent essentiellement de la topologie, et sont importées via la théorie homotopique des schémas développée par Morel et Voevodsky. Il s'intéresse plus spécifiquement aux calculs des faisceaux d'homotopie de sphères algébriques. Pour faciliter les calculs de ces faisceaux, il est absolument crucial de développer de nouveaux outils. J. Fasel s'est ainsi attelé à définitir et développer une catégorie de motifs plus générale que celle de Voevodsky.

Les représentations modulaires des groupes finis et des algèbres font l’objet des travaux d'O. Garotta. Elle s'intéresse actuellement aux propriétés des valeurs des caractères des groupes finis, ainsi qu'aux développements de la correspondance algébrique de McKay en dimension supérieure à 2.

E. Herscovich s'intéresse à l'algèbre homologique et la théorie des représentations des algèbres. Il a en particulier étudié les propriétés homologiques et la théorie des représentations d'une famille d'algèbres qui apparaît de façon naturelle dans la théorie de jauge en physique, les algèbres de (super) Yang-Mills, en utilisant des outils de géométrie non commutative.

Étude des solutions de systèmes d'équations aux dérivées partielles sur une variété analytique complexe

La théorie des D-modules est l'étude des systèmes d'équations aux dérivées partielles par les méthodes cohomologiques de la géométrie algébrique. Elle est particulièrement utile dans l'étude des systèmes issus de la géométrie ou de la théorie des groupes. En général, les modules issus de la géométrie ou de la théorie des groupes sont des modules holonomes caractérisé par le fait de n'avoir qu'un nombre fini de solutions. Parmi les modules holonomes, on distingue les modules réguliers (qui généralisent les équations différentielles de type de Fuchs) et les modules irréguliers. Alors que les modules réguliers sont assez bien compris (en particulier, on sait les classifier), la structure des modules irréguliers est beaucoup plus compliquée comme le montraient déjà les travaux de Malgrange en dimension 1. Y. Laurent étudie plus particulièrement la régularité des modules relativement à une variété lagrangienne. Dans le cas non linéaire, on n'a plus une théorie aussi satisfaisante, mais Malgrange a établi les bases de ce qui pourrait la remplacer.

Géométrie algébrique ou analytique

La classification des variétés analytiques compactes consiste à étendre en dimension supérieure à deux la trichotomie genre 0, genre 1 et genre au moins 2 des courbes. Elle se fait en associant à une telle variété X de nombreux « invariants » et structures géométriques et se révèle nettement plus difficile qu’en dimension 1. En dimension supérieure apparaissent en effet dans toute leur complexité les cônes des classes de cohomologie de métriques kählériennes (dont l’intersection avec les classes entières est le cône des diviseurs amples si X est projective) et des classes de courants positifs fermés (dont l’intersection avec les classes entières est l’'adhérence du cône des diviseurs effectifs si X est projective), cône de Mori des courbes effectives, groupes de Chow. D’autres éléments pour élaborer cette classification, les invariants par déformations de la structure complexe de X comme le groupe fondamental et les invariants cohomologiques plus ou moins raffinés (cohomologie singulière, structures de Hodge mixtes, groupes de Chow, etc.) sont étudiés à l’aide de la théorie de Hodge mais sont mieux compris par la voie « motivique » qui se dévoile peu à peu. Le centre organisateur de la classification des variétés analytiques ou algébriques semble être la classe canonique qu’on étudie dans le cadre du programme du modèle minimal (théorie de Mori). Ses propriétés permettent d’étudier la présence sur X de sous-variétés spéciales : courbes entières, courbes rationnelles, etc. Ces questions sont l'’objet de travaux de J.-P. Demailly, S. Druel, P. Eyssidieux, C. Maclean, et C. Peters.

Les travaux récents de H. Chen concernent les liens entre la géométrie convexe et la géométrie arithmétique.

M. Deraux s'intéresse aux liens entre la topologie et la géométrie des variétés, à l'existence et à la construction de structures géométriques sur certaines classes de variétés (espaces de modules, fibrations). Il explore en particulier la classe des variétés qui admettent une métrique de Kähler à courbure sectionnelle négative, qui contient deux grandes classes d'exemples : d'une part les variétés hyperboliques complexes, qui admettent une métrique à courbure holomorphe -1 ; et d'autre part les variétés de type Mostow-Siu, qui sont localements des revêtements ramifiés de l'espace hyperbolique complexe, et n'admettent aucune métrique riemannienne localement symétrique.

P. Eyssidieux s'intéresse aux équations de Monge-Ampère complexe, à leurs flots et aux applications en géométrie kählérienne comme l'existence de métriques de Kähler-Einstein, aini qu'à la topologie des variétés algébriques complexes, notamment à l'étude de leur groupe fondamental, avec applications à l'uniformisation en plusieurs variables complexes.

Les travaux d'H. Gaussier concernent la géométrie des variétés (presque) complexes. Il étudie les pseudo-métriques invariantes dans les variétés ouvertes, telles que les métriques de Carathéodory et de Kobayashi (métriques de Finsler) ou les métriques de Bergman et de Kähler-Einstein (métriques de Kähler). Il s'intéresse aussi aux propriétés métriques des espaces hyperboliques au sens de Kobayashi, en lien notamment avec la notion d'hyperbolicité au sens de Gromov. Il étudie enfin la stabilité par déformation des structures presque complexes.

Les principaux travaux de D. Gayet concernent la topologie des sous-variétés aléatoires, dans un cadre kählerien (parties réelles de lieux d'annulation de sections aléatoires holomorphes d'un fibré de grand degré), comme dans un cadre Riemannien (lieux d'annulation de fonctions prises au hasard dans une somme de plus en plus grande de sous-espaces propres du laplacien).

S. Kosarev s'intéresse à l'analyse non standard et à la logique, en lien avec la géométrie analytique.

L'analyse complexe et l'analyse sur les variétés CR font l'objet des travaux de C. Laurent. Avec applications à la résolution de l'équation de Cauchy-Riemann et de l'équation de Cauchy-Riemann tangentielle avec de bonnes estimations aux problèmes d'extension des fonctions holomorphes et CR et aux problèmes de plongement des variétés CR compactes.

La théorie des corps d'Okounkov généralise aux variétés algébriques non toriques la correspondance entre sections d'un fibré en droites et points entiers d'un corps convexe. Ils font l’objet des travaux d'C. Maclean.

Z. Tian s'intéresse aux variétés rationnellement connexes, et plus spécifiquement à leurs groupes fondamentaux et à leurs groupes de Chow.

Groupes algébriques et géométrie

Parmi les variétés algébriques admettant beaucoup de symétries, les variétés toriques forment une classe très accessible et omniprésente en géométrie algébrique ; elles jouent un rôle important dans les travaux de M. Moralès. Les problèmes de classification de variétés munies d’une action d’un groupe algébrique sont étudiés par M. Brion, et M. Zaidenberg. M. Brion s'intéresse également à des questions sur la structure des groupes algébriques.

Singularités

Les singularités en géométrie algébrique ou analytique sont étudiées par des approches très diverses : algèbre commutative et combinatoire (M.Moralès), topologie des applications analytiques (H. Maugendre).

Les travaux d'H. Maugendre concernent la topologie et  la résolution  des singularités de surfaces normales complexes. Elle s'intéresse d'une part  à l'étude  des morphismes finis  définis sur une surface normale complexe à valeurs dans le plan complexe, en relation avec le lieu critique, le lieu discriminant, et des invariants de type topologique de ces morphismes, et d'autre part à la topologie des pinceaux de courbes sur une surface normale.
 

Activités : 

Séminaire

Organisé par Philippe Eyssidieux et Jean Fasel, il se tient le lundi de 10h30 à 11h30, puis de 14h à 15h.

Contrats de Recherche

Une partie des membres du thème sont rattachés au GDR Géométrie Algébrique et Géométrie complexe no 3064 du CNRS (dir. C. Mourougane), d'autres au GDR Théorie de Lie Algébrique et Géométrique no 3395 (dir. C. Bonnafé), au GDR Topologie algébrique et applications no 2875 (dir. G. Powell), ou encore au GDR Singularités et Applications (dir. A. Parusinki).

J.-P. Demailly bénéficie d'une ERC Advanced ALKAGE - Algebraic and Kähler Geometry (2015-2020).

J.-P. Demailly et P. Eyssidieux bénificient du contrat ANR Grack 2015-2019 (resp. S. Boucksom), S. Druel du contrat ANR Foliage 2017-2021 (resp. E. Rousseau), P. Eyssidieux du contrat ANR Hodgefun 2017-2021 (resp. P. Eyssidieux), D. Gayet du contrat ANR Microlocal 2015 - 2019 (resp. E. Giroux), et enfin C. Amiot du contrat ANR SC3A 2015 - 2019 (resp. Y. Palu).

Thèses soutenues depuis 2012

Roland Abuaf - Around homological projective duality and non commutative resolutions of singularities (2013, dir. L. Manivel), post-doctorant IHES.

Hernan de Alba Casillas - Nombres de Betti d'idéaux binomiaux (2012, dir. M. Morales), enseignant-chercheur à Mexico.

Junyan Cao - Théorèmes d'annulation et théorèmes de structure sur les variétés kähleriennes compactes (2013, dir. J.-P. Demailly), MCF Université de Paris 6.

Thibaut Delcroix - Métriques de Kähler-Einstein sur les compactifications de groupes (2015, dir. P. Eyssidieux), post-doctorant à la FSMP.

Jérôme Ducoat - Invariants cohomologiques des groupes de Coxeter finis (2012, dir. G. Berhuy), prof. en CPGE.

Kevin Langlois - Sur les opérations de tores algébriques de complexité un dans les variétés affines (2013, dir. M. Zaidenberg), post-doctorant au Département de Mathématiques de l'université Heinrich Heine (Düsseldorf).

Wenhao Ou - Géométrie des variétés rationnellement connexes (2015, dir. S. Druel), Assistant Adjunct Professor, UCLA.

Alexander Perepechko - Automorphismes de variétés affines (2013, dir. M. Zaidenberg).

Marianne Peyron - Quelques problèmes d'analyse géométrique dans les variétés presque complexes à bord (2013, dir. H. Gaussier et A. Sukhov), prof. en CPGE.

Ronan Terpereau - Schémas de Hilbert invariants et théorie classique des invariants (2012, dir. M. Brion), MCF Université de Bourgogne.

Gunnar Thor Magnusson - Métriques naturelles associées aux familles de variétés Kahlériennes compactes (2012, dir. J.-P. Demailly), ingénieur-programmeur en édition mathématique chez MSP.

Marco Spinaci - Déformations des applicaions harmoniques tordues (2013, dir. P. Eyssidieux), post-doctorant au MPI.

Jian Xiao - Positivité en géométrie algébrique (2016, dir. J.-P. Demailly et J. Fu).

Ali Akbar Yasdan Pour - Resolution and Castelnuovo-Mumford Regularity (2012, dir. M. Morales), enseignant-chercheur à Zanjãn (Iran).  

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