100, rue des maths 38610 Gières / GPS : 45.193055, 5.772076 / Directeur : Thierry Gallay

Algèbre et géométries

Membres : 

Membres permanents

Claire Amiot (MCF), Grégory Berhuy (PR), Thierry Bouche (MCF), Catherine Bouvier (PRAG), Michel Brion (DR), Monique Decauwert (MCF Chambéry, retraitée), Jean-Pierre Demailly (PR, membre permanent de l'Académie des Sciences), Martin Deraux (MCF HDR), Stéphane Druel (CR HDR), Philippe Elbaz-Vincent (PR), Philippe Eyssidieux (PR), Jean Fasel (PR), Hervé Gaussier (PR), Damien Gayet (PR), Odile Garotta (MCF), Jérémy Guéré (MCF), Estanislao Herscovich (MCF), Siegmund Kosarew (PR), Christine Laurent (PR, retraitée), Yves Laurent (DR), Catriona Maclean (MCF), Bernard Malgrange (DR émérite),  Hélène Maugendre (MCF), Marcel Moralès (PR IUFM Lyon), Emmanuel Peyre (PR), Zhiyu Tian (CR), Vanessa Vitse (MCF), Mikhail Zaidenberg (PR, retraité).

Doctorants

Rodolfo Aguilar (sept 2017, dir. P. Eyssidieux), Abdelwhaed Chrih (sept. 2015, dir. H. Gaussier et F. Haggui), Peng Du (sept. 2017, dir. J. Fasel), Sébastien Gontard (sept. 2015, dir. H. Gaussier), Hakon Kolderup (sept. 2016, dir. J. Fasel et P. A. Ostvaer), Bruno Laurent (sept. 2015, dir. M. Brion), Louis-Clément Lefèvre (sept 2014, dir. P. Eyssidieux), Alejandro Rivera (sept. 2016, dir. D. Gayet), Tariq Syed (sept. 2016, dir. J. Fasel et A. Rosenschon), Nanjun Yang (oct. 2015, dir. J. Fasel).

Post-doctorants et Invités (2013 - )

C. Araujo (09/14, S. Druel), Narasimha Chary (10/16 - 10/17, M. Brion), Young-Jun Choi (2016, J.-P. Demailly), Li Duo (15/03/14 - 15/03/15, M. Brion), Flaminio Flamini (03/07/16 - 07/07/16, M. Zaidenberg), Hubert Flenner (03/13 - 05/13, M. Zaidenberg), Mickael Friedman (10/13 - 10/14, M. Zaidenberg), Boris Hanin (25/04/16-29/04/16, D. Gayet), Pham Hoang Hiep (09/11 - 08/12, J.-P. Demailly), Kang-Tae Kim (15/01/16 - 15/02/16, H. Gaussier), Daniel Labardini Fragoso (06/14, C. Amiot), Qifeng Li (01/01/13 - 31/12/13, S. Druel), Satyagopal Mandal (25/05/15 - 29/06/15, J. Fasel), Thai Nguyen (06/16, M. Morales), Pierre-Guy Plamondon (06/16, C. Amiot), Yuri Prokhorov (06/14, 06/16, M. Zaidenberg), Andriy Regeta (4/16 - 10/17, M. Brion et M. Zaidenberg), Preena Samuel (15/09/14 - 15/09/15, M. Brion), Nguyen Thi Dung (06/16, M. Morales), Le Truong Hoang (06/16, M. Morales), Masaki Tsukamoto (01/09/15 - 29/09/15, H. Gaussier), Benjamin Wyser (01/01/14 - 31/12/15, M. Brion), Yong Yang (15/01/2016-15/01/2017, J. Fasel), Tao Zheng (2016, J.-P. Demailly).

Présentation : 

Les principaux axes de recherche peuvent être regroupés en cinq grands sous-thèmes :

  • Algèbre, algèbre homologique, théorie des représentations ;
  • Étude des solutions de systèmes d'équations aux dérivées partielles sur une variété analytique complexe ;
  • Géométrie algébrique ou analytique ;
  • Groupes algébriques et géométrie ;
  • Singularités.

Ces sous-thèmes ne sont évidemment pas disjoints. L’interaction entre les membres de l’Institut Fourier concernés par ces directions de recherche se fait entre autres par le biais du séminaire hebdomadaire, animé par les membres du thème et organisé par Jean Fasel et Philippe Eyssidieux, qui se déroule sur deux séances : le lundi de 10h30 à 11h30, puis de 14h à 15h.

Algèbre, algèbre homologique, théorie des représentations

La thématique de recherche de C. Amiot est la théorie des représentations des algèbres non commutatives. Au sein de cette thématique plusieurs aspects sont étudiés, d'un côté les représentations de carquois et la théorie d'Auslander-Reiten, d'un autre les catégories dérivées avec des outils provenant de l'algèbre homologique ou de la théorie du basculement (tilting) et enfin les catégories en lien avec la combinatoire des algèbres amassées (cluster).

G. Berhuy s'intéresse à l'étude des invariants de structures algébriques (groupes, algèbres, variétés, formes quadratiques, etc.). Étant donné une classe d'objets mathématiques, munie d'une relation d'isomorphisme, un invariant est une quantité à valeurs dans un groupe abélien qui est constante sur les classes d'isomorphismes. Cet invariant peut être discret (à valeurs entières), ou cohomologique (à valeurs dans un groupe de cohomologie bien choisi).

La théorie des représentations n'’est pas étrangère aux préoccupations de M. Brion.

J. Fasel s'intéresse à la classification des fibrés vectoriels sur des schémas affines lisses sur un corps non nécessairement algébriquement clos. Les techniques qu'il utilise proviennent essentiellement de la topologie, et sont importées via la théorie homotopique des schémas développée par Morel et Voevodsky. Il s'intéresse plus spécifiquement aux calculs des faisceaux d'homotopie de sphères algébriques. Pour faciliter les calculs de ces faisceaux, il est absolument crucial de développer de nouveaux outils. J. Fasel s'est ainsi attelé à définitir et développer une catégorie de motifs plus générale que celle de Voevodsky.

Les représentations modulaires des groupes finis et des algèbres font l’'objet des travaux d'O. Garotta. Elle s'intéresse actuellement aux propriétés des valeurs des caractères des groupes finis, ainsi qu'aux développements de la correspondance algébrique de McKay en dimension supérieure à 2.

E. Herscovich s'intéresse à l'algèbre homologique et la théorie des représentations des algèbres. Il a en particulier étudié les propriétés homologiques et la théorie des représentations d'une famille d'algèbres qui apparaît de façon naturelle dans la théorie de jauge en physique, les algèbres de (super) Yang-Mills, en utilisant des outils de géométrie non commutative.

Étude des solutions de systèmes d'équations aux dérivées partielles sur une variété analytique complexe

La théorie des D-modules est l'étude des systèmes d'équations aux dérivées partielles par les méthodes cohomologiques de la géométrie algébrique. Elle est particulièrement utile dans l'étude des systèmes issus de la géométrie ou de la théorie des groupes. En général, les modules issus de la géométrie ou de la théorie des groupes sont des modules holonomes caractérisé par le fait de n'avoir qu'un nombre fini de solutions. Parmi les modules holonomes, on distingue les modules réguliers (qui généralisent les équations différentielles de type de Fuchs) et les modules irréguliers. Alors que les modules réguliers sont assez bien compris (en particulier, on sait les classifier), la structure des modules irréguliers est beaucoup plus compliquée comme le montraient déjà les travaux de Malgrange en dimension 1. Y. Laurent étudie plus particulièrement la régularité des modules relativement à une variété lagrangienne. Dans le cas non linéaire, on n'a plus une théorie aussi satisfaisante, mais Malgrange a établi les bases de ce qui pourrait la remplacer.

Géométrie algébrique ou analytique

Le programme des modèles minimaux est une généralisation à la dimension au moins trois - en partie conjecturale - de la classification des surfaces complexes projectives lisses par les géomètres italiens du début du siècle dernier. Les travaux de J.-P. Demailly et S. Druel portent sur ces questions et leurs analogues kählérien ou feuilleté.

M. Deraux s'intéresse aux liens entre la topologie et la géométrie des variétés, à l'existence et à la construction de structures géométriques sur certaines classes de variétés (espaces de modules, fibrations). Il explore en particulier la classe des variétés qui admettent une métrique de Kähler à courbure sectionnelle négative, qui contient deux grandes classes d'exemples : d'une part les variétés hyperboliques complexes, qui admettent une métrique à courbure holomorphe -1 ; et d'autre part les variétés de type Mostow-Siu, qui sont localements des revêtements ramifiés de l'espace hyperbolique complexe, et n'admettent aucune métrique riemannienne localement symétrique.

P. Eyssidieux s'intéresse aux équations de Monge-Ampère complexe, à leurs flots et aux applications en géométrie kählérienne comme l'existence de métriques de Kähler-Einstein, aini qu'à la topologie des variétés algébriques complexes, notamment à l'étude de leur groupe fondamental, avec applications à l'uniformisation en plusieurs variables complexes.

Les travaux d'H. Gaussier concernent la géométrie des variétés (presque) complexes. Il étudie les pseudo-métriques invariantes dans les variétés ouvertes, telles que les métriques de Carathéodory et de Kobayashi (métriques de Finsler) ou les métriques de Bergman et de Kähler-Einstein (métriques de Kähler). Il s'intéresse aussi aux propriétés métriques des espaces hyperboliques au sens de Kobayashi, en lien notamment avec la notion d'hyperbolicité au sens de Gromov. Il étudie enfin la stabilité par déformation des structures presque complexes.

Les principaux travaux de D. Gayet concernent la topologie des sous-variétés aléatoires, dans un cadre kählerien (parties réelles de lieux d'annulation de sections aléatoires holomorphes d'un fibré de grand degré), comme dans un cadre Riemannien (lieux d'annulation de fonctions prises au hasard dans une somme de plus en plus grande de sous-espaces propres du laplacien).

Les travaux de J. Guéré portent sur les espaces de modules des courbes complexes stables construits par Deligne et Mumford et sur la théorie de Gromov-Witten des variétés projectives.Il s'intéresse aussi aux liens entre géométrie énumérative des courbes complexes et certaines hiérarchies intégrables hamiltoniennes.

S. Kosarev s'intéresse à l'analyse non standard et à la logique, en lien avec la géométrie analytique.

L'analyse complexe et l'analyse sur les variétés CR font l'objet des travaux de C. Laurent. Avec applications à la résolution de l'équation de Cauchy-Riemann et de l'équation de Cauchy-Riemann tangentielle avec de bonnes estimations aux problèmes d'extension des fonctions holomorphes et CR et aux problèmes de plongement des variétés CR compactes.

La théorie des corps d'Okounkov généralise aux variétés algébriques non toriques la correspondance entre sections d'un fibré en droites et points entiers d'un corps convexe. Ils font l’'objet des travaux d'C. Maclean.

Z. Tian s'intéresse aux variétés rationnellement connexes, et plus spécifiquement à leurs groupes fondamentaux et à leurs groupes de Chow.

Groupes algébriques et géométrie

Parmi les variétés algébriques admettant beaucoup de symétries, les variétés toriques forment une classe très accessible et omniprésente en géométrie algébrique ; elles jouent un rôle important dans les travaux de M. Moralès. Les problèmes de classification de variétés munies d’une action d’un groupe algébrique sont étudiés par M. Brion, et M. Zaidenberg. M. Brion s'intéresse également à des questions sur la structure des groupes algébriques.

Singularités

Les singularités en géométrie algébrique ou analytique sont étudiées par des approches très diverses : algèbre commutative et combinatoire (M.Moralès), topologie des applications analytiques (H. Maugendre). Les travaux d'H. Maugendre concernent la topologie et  la résolution  des singularités de surfaces normales complexes. Elle s'intéresse d'une part  à l'étude  des morphismes finis  définis sur une surface normale complexe à valeurs dans le plan complexe, en relation avec le lieu critique, le lieu discriminant, et des invariants de type topologique de ces morphismes, et d'autre part à la topologie des pinceaux de courbes sur une surface normale.
 

Activités : 

Séminaire

Organisé par Philippe Eyssidieux et Jean Fasel, il se tient le lundi de 10h30 à 11h30, puis de 14h à 15h.

École

Herna de Alba Casillas et Marcel Morales organisent une école CIMPA - Commutative Algebra with Applications to Statistics and Coding Theory - du 25/06/2018 au 06/07/2018 à Zacatecas (Méxique).

Contrats de Recherche

Une partie des membres du thème sont rattachés au GDR Géométrie Algébrique et Géométrie complexe no 3064 du CNRS (dir. C. Mourougane), d'autres au GDR Théorie de Lie Algébrique et Géométrique no 3395 (dir. C. Bonnafé), au GDR Topologie algébrique et applications no 2875 (dir. D. Chataur), ou encore au GDR Singularités et Applications (dir. A. Parusinki).

J.-P. Demailly bénéficie d'une ERC Advanced ALKAGE - Algebraic and Kähler Geometry (2015-2020).

C. Amiot bénificie du contrat ANR SC3A 2015 - 2019 (resp. Y. Palu), J.-P. Demailly et P. Eyssidieux du contrat ANR Grack 2015-2019 (resp. S. Boucksom), S. Druel du contrat ANR Foliage 2017-2021 (resp. E. Rousseau), P. Eyssidieux du contrat ANR Hodgefun 2017-2021 (resp. P. Eyssidieux), D. Gayet du contrat ANR Microlocal 2015 - 2019 (resp. E. Giroux), et enfin H. Maugendre du contrat ANR LIpschitz des SingulArités 2017 - 2021 (resp. A. Pichon).

Thèses soutenues depuis 2013

Raphaël Achet - Groupe de Picard des groupes unipotents sur un corps quelconque (2017, dir. M. Brion), ATER IF.

Roland Abuaf - Around homological projective duality and non commutative resolutions of singularities (2013, dir. L. Manivel), post-doctorant IHES.

Junyan Cao - Théorèmes d'annulation et théorèmes de structure sur les variétés kähleriennes compactes (2013, dir. J.-P. Demailly), MCF Université de Paris 6.

Thibaut Delcroix - Métriques de Kähler-Einstein sur les compactifications de groupes (2015, dir. P. Eyssidieux), post-doctorant à la FSMP.

Ya Deng - Le corps d'Okounkov généralisé et des problèmes liés à l'hyperbolicité et à l'image directe (2017, dir. J.-P. Demailly), post-doctorant Université de Strasbourg.

Kevin Langlois - Sur les opérations de tores algébriques de complexité un dans les variétés affines (2013, dir. M. Zaidenberg), post-doctorant au Département de Mathématiques de l'université Heinrich Heine (Düsseldorf).

Thomas Letendre - Contributions à l'étude des sous-variétés aléatoires (2016, dir. D. Gayet), Agrégéré préparateur ENS Lyon.

Pedro Montero Silva - Géométrie des variétés de Fano singulières et des fibrés projectifs sur une courbe - (2017, dir. S. Druel et C. Maclean), ATER IF.

Wenhao Ou - Géométrie des variétés rationnellement connexes (2015, dir. S. Druel), Assistant Adjunct Professor, UCLA.

Alexander Perepechko - Automorphismes de variétés affines (2013, dir. M. Zaidenberg).

Marianne Peyron - Quelques problèmes d'analyse géométrique dans les variétés presque complexes à bord (2013, dir. H. Gaussier et A. Sukhov), prof. en CPGE.

Marco Spinaci - Déformations des applicaions harmoniques tordues (2013, dir. P. Eyssidieux), post-doctorant au MPI.

Jian Xiao - Positivité en géométrie algébrique (2016, dir. J.-P. Demailly et J. Fu).

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