Nicolas Lemoine

Prenons un p-groupe fini S, et intéressons-nous aux morphismes entre sous-groupes de S qui sont donnés par des conjugaisons. Si l'on plonge S dans un groupe G plus grand, on obtient potentiellement de nouvelles conjugaisons entre sous-groupes de S. Les morphismes associés forment alors ce que l'on appelle le système de fusion de G sur S. Si l'on regarde les choses dans l'autre sens, étant donné un ensemble "convenable" de morphismes entre sous-groupes de S (i.e. un système de fusion sur S), on peut se demander s'il existe un groupe G contenant S et dont les conjugaisons donneraient précisément cet ensemble de morphismes (on dit alors que le système de fusion est réalisable par un groupe). Cette question peut être précisée ou généralisée de plusieurs manières, aboutissant à des réponses différentes.

Un prégroupe, tel que défini par Stallings en 1971, est un ensemble muni d'une opération partiellement définie généralisant la structure de groupe. Dans cet exposé, je présenterai les systèmes de fusion d'une part, les prégoupes d'autre part, puis j'expliquerai comment on peut prouver que tout système de fusion est réalisable par un prégroupe fini. Le contenu de l'exposé est tiré d'un preprint co-écrit avec Rémi Molinier.