La transformée de Fourier d'une réarrangée symétrique

Dans cet exposé, nous montrerons des inégalités $L^2$ à poids reliant la transformée de Fourier d'une fonction $f$ et la transformée de
Fourier de sa réarrangée symétrique $|f|^*$.

Par exemple, lorsque le poids est de la forme $(1+|\xi|^2)^s$, nous donnerons une nouvelle démonstation d'un résultat de Lieb:
$$
\int_{\R^d} |\hat f(\xi)|^2(1+|\xi|^2)^sd\xi\le C_s\int_{\R^d}
|\widehat{|f|^*}(\xi)|^2(1+|\xi|^2)^sd\xi
$$
si $0\leq s\leq 1$. Pour un poids $\omega\in L^2$, $\omega\geq 0$,
$$
\int_{\R^d} |\widehat{|f|^*}(\xi)|^2(1+|\xi|^2)^sd\xi\le C\int_{\R^d} |\hat
f(\xi)|^2(1+|\xi|^2)^sd\xi
$$
($C$ ne dépendant pas de $\omega$).

Le premier résultat s'interpr\`ete en termes de régularité et le second en terme de contr\^ole des oscillations.