Fonction zeta d'Epstein, designs sphériques et minimisation d'énergie

La fonction zeta associée à un réseau euclidien, ou \textit{fonction zeta d'Epstein}, est un exemple de fonction zeta spectrale comme on en rencontre en géométrie Riemannienne : $\left(M,g\right)$ désignant une variété Riemannienne compacte et sans bord, le spectre de l'opérateur de Laplace-Beltrami associé $\Delta_g$
consiste en une suite $0=\lambda_0< \lambda_1\leq \lambda_2 \leq \dots$ tendant vers $\infty$ et la fonction zeta spectrale associée est définie par
\begin{equation*}
Z(M,s)=\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{\lambda_i^s} \ , \ \Re s > \frac{n}{2}.
\end{equation*}
Le procédé de \textit{régularisation zeta} permet de donner un sens au déterminant de $\Delta_g$, que l'on définit par la formule
\begin{equation*}
\det\Delta_g:= \exp \left( -Z'(M,0)\right).
\end{equation*}
Un problème naturel est de maximiser $\det\Delta_g$ sur une variété donnée $M$, pour $g$ variant dans l'espace des métriques de volume fixé, et de caractériser les métriques optimales. En toute généralité, il s'agit bien sûr d'un problème extrêmement difficile. Si l'on se restreint aux tores plats $M=\mathbb R^n/ L$, la question est naturellement plus abordable mais néanmoins non triviale. Nous expliquerons dans cet exposé comment, dans ce cas très particulier des tores plats, des outils plus ou moins classiques en géométrie des nombres, telles que les \textit{designs sphériques} et les formes modulaires, permettent de donner un éclairage sur la question. Nous verrons également comment interpréter nos résultats dans le cadre des problèmes de \textit{minimisation d'énergie} récemment étudiés par Cohn et Kumar.