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Ecole Été 1999

Invariants de noeuds et de variétés de dimension 3

21 juin - 9 juillet 1999

Une école d’été sur les "Invariants de noeuds et de variétés de dimension 3" a été organisée à Grenoble du 21 juin au 9 juillet 1999, avec le soutien de l’Université Joseph Fourier, du CNRS, du Pôle européen, de la Ville de Grenoble, et de la Mission Scientifique et Technique du Ministère de l’Enseignement Supérieur.

Elle a duré trois semaines pendant lesquelles nous nous sommes intéressés aux noeuds - plongements de cercles dans l’espace ambiant - et aux variétés de dimension 3.

Nous avons proposé des séances introductives afin de donner une vue panoramique des principaux domaines de recherche actifs et des théorèmes fondamentaux en topologie de dimension 3 et nous avons approfondi l’étude des nombreux invariants découverts depuis 1984 et des théories récentes - de Vassiliev-Kontsevich pour les noeuds (1990-1992) et de Le-Murakami-Murakami-Ohtsuki pour les variétés (1995-1997) - qui en donnent une jolie classification.

Première semaine : Cours introductifs

Présentations de noeuds et de variétés de dimension 3 Thomas FIEDLER : 3 séances Présentations des noeuds, tresses et variétés de dimension 3 - Exemples - Théorèmes de Reidemeister, Markov, Kirby - Liens avec la dimension 4.

Introduction à la théorie de Vassiliev Pierre VOGEL : 5 séances Filtration de Vassiliev de l’espace des noeuds - Diagrammes de Feynman - Fonctions de poids associées aux algèbres de Lie - Constructions d’invariants polynomiaux des noeuds à partir de l’intégrale de Kontsevich.

Intégrale de Kontsevich Christine LESCOP : 5 séances Présentation de l’intégrale de Kontsevich des enchevêtrements parallélisés et de ses propriétés de foncteur monoïdal à partir de la définition originale de Kontsevich - Rationalité.

Introduction aux invariants quantiques des noeuds et entrelacs Christian BLANCHET : 4 séances Construction élémentaire du polynôme Homfly et du polynôme de Kauffman à deux variables - Modules skein, exemples de calculs - Catégorie de Hecke et invariant Homfly pour entrelacs coloriés - Relation avec la théorie des représentations des groupes quantiques.

Invariants de noeuds dans les variétés de dimension 3 à partir de sommes de Gauss Thomas FIEDLER : 2 séances

Deuxième semaine : Exposés détaillés de résultats récents

Quelques aspects de la topologie en dimension 3 Michel BOILEAU : 6 séances Quelques résultats classiques en topologie de dimension 3 - Géométrie hyperbolique : un survol.

Invariants et théories quantiques des champs en dimension 3 Christian BLANCHET : 4 séances Invariants d’entrelacs coloriés, couleurs de Kirby, premiers exemples - Construction des invariants quantiques SU(N) pour les variétés de dimension 3 - Axiomes des théories quantiques des champs topologiques (TQFT) ; catégories modulaires, TQFT associées - Construction des catégories modulaires SU(N,K), calcul des formules de Verlinde.

Intégrale de Kontsevich et invariants de Milnor Gregor MASBAUM : 3 séances

Invariant universel de type fini des variétés de dimension 3 de Le, Murakami et Ohtsuki Thang T.Q. LE : 3 séances Sa définition, son universalité et ses propriétés les plus simples.

Sur l’invariant LMO Nathan HABEGGER : 2 séances Ses valeurs pour les variétés de premier nombre de Betti non nul - Une démonstration de la relation IHX pour les diagrammes de variétés.

Une structure rationnelle sur des fonctions génératrices d’invariants de Vassiliev Lev ROZANSKY : 2 séances Recherche d’une interprétation topologique (du style polynôme d’Alexander) pour les invariants de Vassiliev - Propriétés p-adiques des invariants de Reshetikhin-Turaev des variétés de dimension 3.

Troisième semaine : Recherche Diagrammes de Feynman et algèbre de Lie universelle Pierre VOGEL : 3 séances

Développements perturbatifs d’invariants quantiques et invariant LMO Thang T.Q. LE : 6 séances Intégralité et principe de symétrie pour les invariants quantiques - La version projective des invariants quantiques de variétés de dimension 3 et son intégralité - Le développement perturbatif des invariants quantiques - La série perturbative à partir de l’invariant LMO.

Invariants perturbatifs, invariants de type fini et invariant LMO Tomotada OHTSUKI : 3 séances L’invariant perturbatif SO(3) - Invariants de type fini - Universalité de l’invariant LMO - Théorie quantique pour l’invariant LMO - Fermoir d’Habiro.

Noeuds avec les mêmes invariants jusqu’à un degré fixé Louis FUNAR

"Wheels" et "Wheeling" Dylan THURSTON : 2 séances Relation entre les deux produits sur l’espace des diagrammes - Invariant du noeud trivial.

Séminaire (Exposés de 45 minutes de participants) Lors de ce séminaire, des participants auront l’opportunité (qui ne donnera droit à aucun support financier) de présenter un exposé dans l’esprit de l’Ecole d’été et fortement relié aux sujets abordés. Les résumés doivent être proposés à Christine Lescop avant le 29 juin.

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