Davide Giraudo

La compréhension du comportement asymptotique des sommes partielles d'une suite strictement stationnaire est un enjeu important en théorie des probabilités. Pour cela, on considère à $n$ fixé la fonction aléatoire qui, pour tout $0 \leqslant k \leqslant n$, prend la valeur $\sum_{j=0}^{k-1}X_j$ en $k/n$, et est interpolée linéairement, où $\left(X_j\right)_{j\geqslant 0}$ est la suite strictement stationnaire considérée. Ceci définit une fonction aléatoire appelée $W_n$.

Lorsque la suite $\left(X_j\right)_{j\geqslant 0}$ est indépendante, centrée et a une variance égale à un, alors la suite $\left(W_n/\sqrt n\right)_{n\geqslant 1}$ converge en loi vers un mouvement brownien standard $W$ dans l'espace des fonctions continues sur $[0,1]$ (Donsker, 1951). Autrement dit, pour toute fonctionnelle $F\colon \left(C[0,1],\lVert\cdot\rVert_\infty\right)\to \mathbb R$ continue et bornée, la convergence \begin{equation}\label{eq:conv_fonctionnelle}\tag{*} \mathbb E\left[F\left(\frac 1{\sqrt n}W_n\right)\right]\to \mathbb E\left[F\left(W\right)\right] \end{equation} a lieu.

En vue d'application statistiques telles que la détection de point de rupture, on peut chercher à étendre la convergence \eqref{eq:conv_fonctionnelle} à une classe plus large de fonctionnelles $F$. L'idée de Lamperti (1962) est d'utiliser le caractère hölderiens d'exposant strictement inférieur à $1/2$ des trajectoires du mouvement brownien standard. Le cas i.i.d. a été traité par Raĉkauskas et Suquet (2003). Dans cet exposé, nous présenterons des conditions suffisantes pour qu'une suite strictement stationnaire vérifie le principe d'invariance dans un espace de fonction hölderiennes. Nous nous focaliserons dans un premier temps sur le cas des martingales à accroissements strictement stationnaires. Ensuite, nous présenterons deux critères projectifs permettant de montrer le principe d'invariance hölderiens via une approximation par martingales.