Arnaud Le Ny

Pour cet exposé, nous nous placerons dans le cadre DLR de construction de mesures sur des espaces probabilisés produit infinis. Pour modéliser les transitions de phase en mécanique statistique mathématique, Dobrushin et Lanford/Ruelle ont proposé de décrire les mesures à volume infini par un système consistant de probabilités conditionnelles à volume fini (sous une forme prescrite par le modèle sous-jacent) . Contrairement à la construction par cohérence de marginales finies-dimensionnelles à la Kolmogorov, une telle construction laisse en effet la possibilité de définir plusieurs mesures pour une même description locale. Les mesures de Gibbs à volume infini sont de telles mesures DLR régulières, au sens où elles doivent toujours admettre une version régulière continue de probabilités conditionnelles à volume fini. Ainsi définies, les mesures de Gibbs s'interprètent aussi comme des états d'équilibre avec de bonnes propriétés mathématiques, mais il est apparu plus tard qu'elles souffraient notamment d'une instabilité par changements d'échelles, expliquant les pathologies du groupe de renormalisation identifiées dans les années 70 en physique théorique. Au cours de cet exposé, nous décrirons en détail la perte de la propriété de Gibbs dans le cadre élémentaire de la décimation de modèles d'Ising, en dimension 2 pour le modèle aux proches-voisins mais aussi en dimension 1 pour les modèles à longues portées en cas de transition de phase. Nous préciserons les remèdes apportés dans le cadre du programme Dobrushin de restauration (mesures de Gibbs généralisées,) et dans la cas de la dimension 1 nous ferons le lien entre les problèmes rencontrés et les propriétés de Markov locale (conditionnement unilatère) ou globale (conditionnement bilatère).