Approche probabiliste de la borne de Carne

Dans cet exposé, je parlerai d'un résultat de 1985 dû à Carne & Varopoulos : pour une chaîne de Markov sur un graphe (càd. contrainte à suivre les arêtes), réversible de mesure stationnaire $\mu$, les probabilités de transition en temps $t$ sont contrôlées par la borne gaussienne
\[ p^t(x,y) \leq \sqrt{e} \big( \mu(y)/\mu(x) \big)^{1/2} \exp \big( d(x,y)2 / 2t \big) ,\]
où $d(x,y)$ désigne la distance du graphe entre $x$ et $y$.

Mon objectif sera d'expliquer cette borne par des arguments probabilistes (voisins de la décomposition en martingales forward/ backward) plus naturels que la preuve originelle d'analyse spectrale. Outre une meilleure compréhension du phénomène, il en résultera une généralisation à des distances plus souples que celle du graphe, ainsi qu'une interprétation alternative du rayon spectral de l'opérateur de transition.