Pierre Bérard

Le théorème de Courant (1923) stipule qu'une fonction propre 

associée à la $n$-ième valeur propre du Laplacien dans un domaine borné 

de $R^d$ a au plus $n$ ensembles nodaux. Une note en bas de page du 

livre de Courant-Hilbert indique que cette propriété s'étend aux 

combinaisons linéaires des fonctions propres.

 

Arnold consacre une partie de son dernier papier [Topological properties 

of eigenoscillations in mathematical physics. Proc. Steklov Inst. Math. 

273 (2011), 25--34.] à cette propriété qu'il appelle le ``Théorème 

généralisé de Courant''.

 

Arnold indique en particulier que le théorème généralisé de Courant est 

incorrect sur $RP^3$. Il décrit également une idée, proposée par 

Gelfand, pour le démontrer en dimension $1$ (``Théorème de 

Courant-Gelfand''), en regrettant qu'aucune démonstration écrite ne soit 

disponible.

 

Dans l'exposé, je présenterai un travail en collaboration avec Bernard 

Helffer : une démonstration à la Gelfand d'un théorème plus précis en 

dimension $1$, ainsi que des contre-exemples simples au ``théorème 

généralisé de Courant'' en dimensions plus grandes.