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Pierre Bérard

Autour du théorème de Courant: un papier d'Arnold revisité
Jeudi, 24 Janvier, 2019 - 14:00
Résumé : 
Le théorème de Courant (1923) stipule qu'une fonction propre 
associée à la $n$-ième valeur propre du Laplacien dans un domaine borné 
de $R^d$ a au plus $n$ ensembles nodaux. Une note en bas de page du 
livre de Courant-Hilbert indique que cette propriété s'étend aux 
combinaisons linéaires des fonctions propres.
 
Arnold consacre une partie de son dernier papier [Topological properties 
of eigenoscillations in mathematical physics. Proc. Steklov Inst. Math. 
273 (2011), 25--34.] à cette propriété qu'il appelle le ``Théorème 
généralisé de Courant''.
 
Arnold indique en particulier que le théorème généralisé de Courant est 
incorrect sur $RP^3$. Il décrit également une idée, proposée par 
Gelfand, pour le démontrer en dimension $1$ (``Théorème de 
Courant-Gelfand''), en regrettant qu'aucune démonstration écrite ne soit 
disponible.
 
Dans l'exposé, je présenterai un travail en collaboration avec Bernard 
Helffer : une démonstration à la Gelfand d'un théorème plus précis en 
dimension $1$, ainsi que des contre-exemples simples au ``théorème 
généralisé de Courant'' en dimensions plus grandes.
Institution de l'orateur : 
IF
Thème de recherche : 
Théorie spectrale et géométrie
Salle : 
4
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