Transport optimal et dynamique sur le cercle.

On étudie l'action sur les mesures de probabilité d'une application dilatante du cercle (par exemple la multiplication par $d$ modulo $1$).

Plus précisément, le transport optimal permet, d'après une idée de Félix Otto formalisée par Nicola Gigli, de définir une structure différentielle sur l'espace des mesures qui permet de définir la différentielle de cette action. On calcule cette différentielle en l'unique mesure invariante absolument continue et on montre que ses valeurs propres couvrent un disque centré en l'origine de rayon strictement plus grand que $1$. En particulier, on obtient des déformations de la mesure invariante en familles de mesures « presque invariantes ».