Pierre Bérard

Un théorème de Courant énonce que le nombre de domaines
nodaux d'une fonction propre du Laplacien, associée à la $k$-ième
valeur propre, est inférieur ou égal à $k$. En dimension supérieure
ou égale à $2$, cette borne n'est pas optimale. A. Stern (1925, pour
le carré et la sphère) et H. Lewy (1987, pour la sphère) ont par
exemple construit des exemples de suites orthogonales de fonctions
propres ayant exactement deux domaines nodaux. En utilisant
l'inégalité isopérimétrique, Å. Pleijel a montré (1956) que le
nombre de domaines nodaux est asymptotiquement inférieur ou égal à
$\gamma k$, avec $\gamma < 1$. La question se pose naturellement de
déterminer les valeurs propres pour lequelles le théorème de Courant
est optimal.

Avec Bernard Helffer, nous avons revisité ces différents résultats.
Ce sera le sujet de mon exposé.