Maxence Brévard

En dynamique discrète, certains problèmes échappent à une description 
déterministe. Par exemple, certaines transformations sont si chaotiques 
qu’il n’y a aucun moyen de décrire l’orbite d’un point donné. On obtient 
des résultats de nature générique au sens de la mesure, pour une 
certaine mesure adaptée au système. Une approche duale, de nature 
probabiliste, permet de construire un dictionnaire entre les propriétés 
dynamiques du système (invariance, mélange,...) et des propriétés 
relatives à une certaine suite de variables aléatoires (identique 
distribution, indépendance,…). Comprendre cette suite pour une grande 
famille de mesures adaptées permet de se rapprocher d’une compréhension 
déterministe.

Dans le cas des endomorphismes holomorphes des espaces projectifs 
complexes, on sait qu'il existe une unique mesure d’entropie maximale. 
Une généralisation est donnée par les états d’équilibre. Ce sont des 
mesures de grande entropie qui maximisent une certaine fonctionnelle 
dépendant d’une observable. Etant donnée une observable suffisamment 
régulière, l’existence d'un état d'équilibre est souvent gratuite, alors 
que leur unicité est une propriété stochastique très puissante.

Berteloot, Bianchi et Dupont ont étudié la notion de stabilité pour une 
famille d’endomorphismes paramétrée par une variété complexe. A 
l’intérieur d’une famille stable, on s’attend à ce que les comportements 
statistiques des systèmes soient identiques. J’expliquerai un travail en 
cours sur la propagation des observables et des états d'équilibre 
associés au sein d'une famille stable. Je me placerai en dimension 1, où 
les transformations sont de braves fractions rationnelles et la 
stabilité d’une famille revient à suivre sans intersection l’ensemble 
des points périodiques répulsifs le long de cette famille.

Travail en collaboration avec avec K.Rakhimov.