Les singularités de la duale projective

Soit $ X \subset \mathbb{P}^N$ une variété projective lisse et $L \subset \mathbb{P}^N$ un espace linéaire. Le théorème de Bertini dit que si $H_0$ est un hyperplan général contenant $L$ alors les singularités de $H_0 \cap X$ sont dans $L \cap X$. Si $H_1 \supset L$ est un hyperplan tel que $H_1 \cap X$ soit singulier en dehors de $L \cap X$, on peut s'attendre à  ce que la multiplicité de la duale projective de $X$ en $H_1$ soit strictement supérieure à  la multiplictité en $H_0$.

C'est vrai si $X$ est générale (e.g. une intersection complète). Si $X$ est arbitraire alors ce résultat tombe en défaut, même si $H_1 \cap X$ est singulier en un point général hors de $L \cap X$. De manière étonnante, ce problème n'est pas local et la géométrie des droites incluses dans $X$ joue un rôle prépondérant.

Dans cet exposé, j'essaierai d'expliquer un résultat que j'ai obtenu et dont le motto est : si les droites de $X$ qui rencontrent le $lieu\,\,de \,\,contact$ de $L$ avec $X$ ne recouvrent pas $X$ alors tout marche relativement bien. Je donnerai des applications de ce théorème à  une question de Zariski sur la caractérisation géométrique de l'équimultiplicité numérique et à  une conjecture de Zak concernant les variétés dont la duale est une hypersurface de bas degré.