Calcul fonctionnel de Hörmander et estimations de Poisson

Un théorème de Lars Hörmander (1960) dit que le multiplicateur de Fourier associé à une fonction $f : (0,\infty) \to \mathbb{C}$ et donné par $g \mapsto f(-\Delta) g = F^{-1][ f(|\xi|^2) \hat{g}(\xi)]$ est borné sur $L^p(\mathbb{R}^d),\,1<p<\infty$, si
$\[ \sup_{t > 0} \| \phi f(t\dot) \|_{W^\alpha_2(\mathbb{R})} < \infty \]$
pour une fonction $\phi \in C^\infty_c(0,\infty)$ non nulle.
Ce théorème a été généralisé pour des opérateurs
différentiels elliptiques $A$ au lieu de $-\Delta$
qui engendrent un semigroupe analytique
satisfaisant des estimations Gaussiennes.
Nous expliquons une nouvelle approche à ce théorème pour
des générateurs de semigroupes satisfaisant
des estimations plus faibles, des estimations de Poisson.