Bifurcations d'orbites périodiques.

Le 16ème problème de Hilbert énoncé le 8 Aout 1900 à la seconde conférence internationale de Paris se décompose en deux parties. La deuxième partie traite du nombre maximal d'orbites périodiques d'un champ de vecteurs polynomial et de leurs positions relatives. Ce problème reste ouvert et peu de résultats sont connus, même dans le cas des champs quadratiques.
Après une brève introduction au problème et une explication sommaire des principaux problèmes, nous nous intéresserons à la théorie de N.N. Bautin (1952) qui traite de bifurcation de Hopf d'ordre supérieur. Ensuite, nous parlerons des limitations des travaux de Bautin et nous évoquerons des outils qui permettent d'améliorer ces résultats (par J-P Francoise notament).