Nicolás Matte Bon

Il est bien connu que l’étude des actions d’un groupe sur un intervalle réel par homéomorphismes (préservant l’orientation) est équivalente à l’étude de ses actions sur des ensembles munis d’un ordre invariant. Si on demande que l’action soit par difféomorphismes (de classe $C^r$), ce point de vue combinatoire n’est pas applicable. Il y a des restrictions additionnelles sur l’action, qui deviennent de plus en plus contraignantes lorsque $r$ grandit. Plusieurs de ces restrictions concernent la régularité au moins $C^r$ avec $r>1$. Le cas des actions seulement différentiables (i.e. de classe $C^1$) est un peu ambivalent: en comparaison avec la régularité supérieure, ce cas est bien plus flexible et on y retrouve plusieurs comportements qualitatifs des actions par homéomorphismes, néanmoins quelques restrictions sont connues. 

Dans cet exposé, je vais expliquer des résultats qui illustrent les deux côtés de cette ambivalence. D’une part, pour certaines classes de groupes (comme les groupes résolubles, et le groupe de Thompson), les actions de classe $C^1$ sont très rigides et peuvent être classifiées, alors que les actions de classe $C^0$ sont bien plus compliquées (travaux en commun avec Brum, Rivas, Triestino). D’autre part, pour les groupes à croissance (localement) sous-exponentielle, toute action sur un ensemble ordonné peut être réalisée par une action $C^1$ sur un intervalle (travail avec Kim, de la Salle, Triestino). Je vais expliquer en particulier comment la croissance des orbites d’une action (exponentielle ou pas) joue un rôle crucial pour décider de sa lissabilité.