Christophe Leuridan

Soit $A$ une matrice carrée de taille $d$, à coefficients entiers. L'endomorphisme $x \mapsto Ax$ sur $\mathbb{R}^d$ définit par passage au quotient un endomorphisme de groupe sur le tore $\mathbb{T}^d$ qui préserve la mesure de Haar.

Lorsque toutes les valeurs propres de $A$ sont de module $>1$, Mihailescu a montré que cet endomorphisme est isomorphe au décalage de Bernoulli uniforme sur $\{0,\ldots,r-1\}^\infty$, avec $r=|\det A|$. La preuve générale est non constructive.

Une approche pour tenter d'obtenir une preuve constructive consiste à fixer un système de représentants $\mathbb{D}$ de $\mathbb{Z}^d/A\mathbb{Z}^d$ repose sur l'étude du compact $K_\mathbb{D}$ défini comme l'ensemble des sommes $\sum_{n \ge 1}A^{-n}v_n$ où les $v_n$ sont dans $\mathbb{D}$.

Ce compact est un pavé auto-affine et permet de paver $\mathbb{R}^d$. On montre que sa mesure de Lebesgue est toujours un entier naturel non nul. Lorsqu'elle vaut $1$, on en déduit un isomorphisme entre $T_A$ et le décalage de Bernoulli uniforme sur $\{0,\ldots,r-1\}^\infty$.

Le problème est donc de choisir l'ensemble $\mathbb{D}$ pour que $K_\mathbb{D}$ soit de mesure $1$. Mais est-ce toujours possible ?

Nous donnons quelques éléments de réponse et étudions une variante où l'on remplace $K_\mathbb{D}$ par un ensemble auto-affine un peu plus petit. Cette approche nous permet de donner un isomorphisme explicite lorsque l'application linéaire $A$ est contractante pour la norme $|\cdot|_\infty$ usuelle ou pour toute autre norme analogue associée à une $\mathbb{Z}$-base de $\mathbb{Z}^d$.