Lucien Grillet

En 1939, P. A. Smith démontra que l'ensemble des points fixes d'un homéomorphisme d'ordre fini de la 3-sphère avec des points fixes et préservant l'orientation était nécessairement homéomorphe à un cercle. Smith demanda si ce cercle pouvait être noué, ou s'il était toujours isotope au plongement standard du cercle. Plus généralement, la question est de savoir si tous les homéomorphismes d'ordre fini de S^3 sont conjugués à un élément du groupe des transformations orthogonales O_4.

En l'état, la réponse à cette conjecture est négative. En 1952, R. H. Bing donna un exemple d'une involution de S^3 renversant l'orientation et dont l'ensemble des points fixes est homéomorphe à une 2-sphère S^2 plongée de manière "sauvage" dans S^3. Sous des hypothèses plus fortes, la conjecture de Smith peut cependant avoir une réponse positive. Ainsi, s'il on suppose que l'application est lisse, la conjecture a été démontrée en 1984 par John Morgan et Hyman Bass grâce à d'importantes avancées dans l'étude des variétés de dimension 3 par de nombreux mathématiciens.

Nous pouvons alors nous demander ce qu'il advient de la Conjecture de Smith dans un cadre où l'application a davantage de régularité qu'un homéomorphisme, sans être lisse. Dans une série de conférences données en 2013 à Santa Barbara, Michael Freedman conjecture que toute action bilipschitzienne d'un groupe fini sur une variété compacte de dimension 3 est conjugué à une action lisse. Je présenterai une démonstration partielle de cette conjecture.