Marie Théret

Dans le modèle de percolation de premier passage sur $\mathbb{Z}^d$, on associe aux arêtes du graphe une famille de variables i.i.d. positives, représentant le temps aléatoire nécessaire pour traverser chaque arête. Il s’agit d’un modèle jouet pour étudier des phénomènes de propagation sur un réseau. La vitesse asymptotique moyenne de propagation dans une direction $v$ est donnée par l’inverse d'une constante $\mu(v)$ (qui dépend de la direction $v$, de la dimension $d$ et de la loi des temps de traversée d’arête) qu’on appelle constante de temps. Les théorèmes ergodiques sous-additifs nous assurent l’existence d’une telle vitesse asymptotique moyenne, mais ne nous permettent pas de calculer sa valeur. Pour des lois de temps de traversées d’arêtes générales, on ne sait en fait que très peu de choses sur la valeur de $\mu(v)$.

Dans cet exposé, nous nous intéressons à une famille de lois très simples pour les temps de traversée d’arête : une loi de Bernoulli de paramètre $1-\epsilon$. Pour $\epsilon=0$, $\mu_\epsilon (v) = \|v\|_1$. Nous étudions le comportement au premier ordre de $\epsilon \mapsto \mu_\epsilon (v)$ quand $\epsilon$ tend vers $0$.

Il s’agit d’un travail en collaboration avec Anne-Laure Basdevant (Modal’X, Université Paris Nanterre) et Jean-Baptiste Gouéré (IDP, Université de Tours).