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La question qu'on se pose dans cet exposé est élémentaire :
Etant donné un difféomorphisme lisse de $R_+$ ayant pour seul point fixe $0$, y a-t-il beaucoup de difféomorphismes qui commutent avec ?
La réponse dépend tout d'abord du groupe dans lequel on se place : des résultats de Kopell et Szekeres montrent que le centralisateur d'un tel difféomorphisme dans le groupe des difféos $C^1$ est toujours un groupe à un paramètre. En différentiabilité plus grande, la situation est plus complexe. On présentera les différents résultats connus à ce sujet, puis on prouvera le théorème suivant :
Théorème :
Il existe un difféomorphisme lisse $f$ de $R_+$ ayant pour unique point fixe l'origine et dont le centralisateur dans le groupe des difféomorphismes $C^r$, pour $2 \le r \le \infty$, est un sous-groupe propre, dense et non dénombrable du centralisateur $C^1$.
