Méthodes nouvelles dans la classification des surfaces non-kählériennes

La classification des surfaces non-kählériennes n'est pas encore terminée. La conjecture de la coquille sphérique globale (CSG) affirme que toute surface de la classe VII à  $b_2>0$ possède une CSG. Les surfaces à  CSG sont données par une construction explicite donnée par Kato, donc (s'il est vrai), cet énoncé résoudrait en principe le problème de classification. D'après un résultat récent de Dloussky-Oeljeklaus-Toma, la conjecture de la CSG est vraie pour les surfaces de la classe VII qui possèdent $b_2$ courbes rationnelles, donc le problème se réduit à  l'existence de suffisamment de courbes sur les surfaces de cette classe.
Bien qu'il s'agisse d'un problème concernant le nombre de courbes holomorphes, ce problème ne peut pas être abordé avec les méthodes de la théorie de Gromov-Witten. Nous allons présenter les résultats récents concernant l'existence des courbes sur les surfaces de la classe VII à  $b_2\leq 2$ et les perspectives ouvertes par ces résultats. Les démonstrations s'appuient sur une combinaison de techniques provenant de la théorie des espaces de modules de fibrés holomorphes et la théorie de Donaldson.