Les invariants symplectiques, un nouvel outil pour la géométrie énumérative

A toute courbe plane d'équation E(x,y)=0, on associe une famille F_g(E) d'invariants
symplectiques (invariants sous les transformations symplectiques C^2->C^2 qui conservent dx\wedge dy sur la courbe). Ces invariants ont une définition très simple, en termes de résidus sur la courbe E, et sont faciles à  calculer explicitement. Ces invariants ont été introduits en 2007, inspirés par les matrices aléatoires. Ils ont
des applications multiples en géométrie énumérative. Certains choix de E reproduisent la théorie de Witten-Kontsevich, ou alors les relations de Mirzakhani, ou alors les nombres de cartes de Tutte. Il est maintenant conjecturé
(BKMP), que si E=E_X est la courbe singulière du mirroir d'une variété X Calabi-Yau torique 3D, alors les F_g(E) sont les invariants de Gromov-Witten de genre g de cette variété:
F_g(E_X)=GW_g(X). Cette conjecture est déjà  prouvée pour les variétés de Hirzebruch, mais reste à  démontrer pour le cas général.