Table des matières

• Chapitre 1  Pour s’amuser en arithmétique
  • 1.1  Calcul de 55555556²−44444445²
    • 1.1.1  Trouver un exemple du même type
  • 1.2  Si b=11115555 alors b+1 est un carré
    • 1.2.1  Vérification avec Xcas
    • 1.2.2  Généralisation
    • 1.2.3  Trouver un exemple du même type
  • 1.3  495 et 6174
    • 1.3.1  Les chiffres d’un nombre
    • 1.3.2  La fonction f
    • 1.3.3  Un peu de mathématiques
    • 1.3.4  Prolongements
  • 1.4  La suite 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5,....
    • 1.4.1  La correction avec un programme Xcas
    • 1.4.2  La correction mathématique avec Xcas
  • 1.5  7 a un multiple qui ne s’écrit qu’avec des 1
    • 1.5.1  Essais avec Xcas
    • 1.5.2  Observations
    • 1.5.3  x₂₀₀₃ et x₂₀₀₄ sont-ils des multiples de 7 ?
  • 1.6  Tout nombre a un multiple qui ne s’écrit qu’avec des 1 et des 0
    • 1.6.1  Tout nombre premier avec 10 a un multiple qui ne s’écrit qu’avec des 1
    • 1.6.2  Des remarques
    • 1.6.3  La suite des restes de 111...1 par n
    • 1.6.4  Relation entre n et p le nombre de 1 de x_p=111...1 où x_p est un multiple de n
    • 1.6.5  Les nombres premiers qui ne s’écrivent qu’avec des 1
  • 1.7  Le réseau des entiers
  • 1.8  Le quadrillage
    • 1.8.1  L’énoncé
    • 1.8.2  La solution
  • 1.9  Résolution dans ℕ^* de x²=y²+z²
    • 1.9.1  Exercice
  • 1.10  Les paires carrées
    • 1.10.1  L’énoncé
    • 1.10.2  La solution
  • 1.11  Les triangles rectangles presque isocèles
    • 1.11.1  L’énoncé 1
    • 1.11.2  La solution de l’énoncé 1
    • 1.11.3  L’énoncé 2
    • 1.11.4  La solution de l’énoncé 2
• Chapitre 2  La suite de Fibonacci et le nombre d’or
  • 2.1  Un exercice pour commencer
  • 2.2  La suite de Fibonacci
    • 2.2.1  La définition
    • 2.2.2  Le programme avec Xcas
    • 2.2.3  Le programme récursif avec Xcas
    • 2.2.4  Propriété
  • 2.3  La suite de Fibonacci et le triangle de Pascal
    • 2.3.1  Le triangle de Pascal
    • 2.3.2  La somme des diagonales montantes
  • 2.4  Le code de Fibonacci
  • 2.5  Le nombre d’or
    • 2.5.1  Propriétés du nombre d’or
  • 2.6  Un exercice niveau trousième
  • 2.7  Un exercice niveau terminale
    • 2.7.1  L’énoncé
    • 2.7.2  La solution avec Xcas
  • 2.8  Deux suites convergentes vers le nombre d’or L
    • 2.8.1  u₀=1 et u_n+1=√1+u_n pour n∈ ℕ
    • 2.8.2  u₀=2 et u_n+1=u_n²+1/2u_n−1 pour n∈ ℕ
  • 2.9  Le nombre d’or et cos(π/5)
    • 2.9.1  Calcul de cos(2π/5)
    • 2.9.2  Calcul de 2cos(π/5)
• Chapitre 3  Les fractions continues et π
  • 3.1  Développement en fractions continues de π
  • 3.2  construction d’un carré ayant pour aire 22/7
  • 3.3  Construction par Ramanujan d’un carré d’aire 355/113
  • 3.4  Une valeur approchée de π par (9²+19²/22)⁽1/4)
  • 3.5  Un nombre quasi-entier : (ln(5280³*(236674+30303*√61)³+744)/π)²
• Chapitre 4  Pour trouver les premières décimales de π
  • 4.1  La formule de Gregory et le développement en série de arctan(x)
  • 4.2  La formule de Machin
  • 4.3  Les décimales de π avec les formules précédentes
    • 4.3.1  Une remarque
    • 4.3.2  Le programme avec Xcas
    • 4.3.3  Combien faut-il calculer de termes ?
    • 4.3.4  Les formules de même type que celles de Machin
  • 4.4  Pour bien afficher les décimales
  • 4.5  La formule de Bailey-Borwein-Plouffe (BBP)
    • 4.5.1  L’historique
    • 4.5.2  Démonstration de la formule de Plouffe en devoir (Université de Lorraine)
    • 4.5.3  Le n-ième chiffre après la virgule de π en base 16 avec la formule BBP
    • 4.5.4  Le programme Xcas
    • 4.5.5  Formule d’Adamchick et Wagon
    • 4.5.6  Formule de Plouffe généralisée
• Chapitre 5  Les entiers de Gauss et l’algorithme de Todd
  • 5.1  ℤ[i] ou les entiers de Gauss ℤ[i]
    • 5.1.1  La division euclidienne et le pgcd dans ℤ[i]
    • 5.1.2  Les fonctions iquo, irem iquorem et gcd de Xcas
    • 5.1.3  Exercice
    • 5.1.4  La fonction pa2b2 de Xcas
  • 5.2  Les nombres irréductibles de ℤ[i]
    • 5.2.1  Définitions et Théorème
  • 5.3  Les nombres décomposables
  • 5.4  Les nombres complétables
  • 5.5  L’algorithme de Todd
    • 5.5.1  Le Théorème3
    • 5.5.2  Un Exemple
    • 5.5.3  Exercice
    • 5.5.4  Un programme qui simplie les formules précédentes
  • 5.6  Pour obtenir une formule de type Machin
• Chapitre 6  Pour s’amuser avec le tableur de Xcas
  • 6.1  Nombre de carrés dans un échiquier
    • 6.1.1  L’énoncé
    • 6.1.2  La correction avec Xcas
  • 6.2  Étude d’une suite
    • 6.2.1  L’énoncé
    • 6.2.2  La démarche mathématique
    • 6.2.3  La correction avec Xcas
• Chapitre 7  Pour s’amuser avec le graphique
  • 7.1  Les polygones et les milieux de leurs côtés
    • 7.1.1  Le triangle et le quadrilatère
    • 7.1.2  Translation et composition de symétries centrales
    • 7.1.3  Le pentagone
    • 7.1.4  Le polygône ayant un nombre impair de côtés
  • 7.2  Le théorème de Johnson
  • 7.3  Une suite de symétrie
  • 7.4  Une suite de projections
    • 7.4.1  La démonstration
  • 7.5  Un tableau fait avec des sinusoides
  • 7.6  La suite de Syracuse
  • 7.7  La suite des tas
    • 7.7.1  Une remarque
    • 7.7.2  Le programme de simulation
• Chapitre 8  Pour s’amuser avec les mesures
  • 8.1  La ficelle et la terre
  • 8.2  Les lunules d’Hippocrate
  • 8.3  Aire d’un cercle troué
  • 8.4  Volume de la sphère trouée
    • 8.4.1  Volume de la calotte de hauteur h d’une sphère de rayon R
    • 8.4.2  Volume d’une sphère trouée
  • 8.5  Puzzle transformant un rectangle 5x1 en un carré
  • 8.6  Puzzle transformant un rectangle 3x2 en un carré
  • 8.7  Puzzle transformant un rectangle a*(a+1) en un carré
  • 8.8  Puzzle transformant un rectangle 3x1 en un carré
    • 8.8.1  On prend exemple sur le découpage précédent
    • 8.8.2  Autre découpage
    • 8.8.3  Autre découpage
  • 8.9  Puzzle transformant un rectangle a*b en un carré
  • 8.10  Exercice
  • 8.11  La quadrature d’un triangle équilatéral
    • 8.11.1  Le carré, le rectangle 1*√3 et le triangle équilatéral avec 8 et 6 pièces
    • 8.11.2  Un autre découpage du rectangle 1*√3 avec 6 pièces
    • 8.11.3  Le carré, le rectangle et le triangle équilatéral avec 5 pièces
    • 8.11.4  Le carré et le triangle équilatéral avec 4 pièces
  • 8.12  La quadrature d’un dodécaèdre
    • 8.12.1  Le dodécaèdre
    • 8.12.2  Le dodécaèdre et le carré
    • 8.12.3  Pour animer la figure
  • 8.13  L’hexagone, le rectangle et le carré
• Chapitre 9  Pour s’amuser avec les probabilités
  • 9.1  Les anniversaires de 3 personnes
  • 9.2  Les anniversaires de n personnes
  • 9.3  Les 4 dés du jeu de Win
  • 9.4  Des calculs de moyenne
    • 9.4.1  Nombre d’enfants moyen par famille
    • 9.4.2  Nombres triangulaires aléatoires
    • 9.4.3  Factorielles aléatoires
• Chapitre 10  Pour s’amuser avec les séries
• Chapitre 11  Pour s’amuser en géométrie plane
  • 11.1  Des problèmes de plus court trajet
    • 11.1.1  Comment placer un pont
    • 11.1.2  Comment placer deux ponts
    • 11.1.3  Minimiser AMB avec M sur une droite
    • 11.1.4  Minimiser AMNB avec M et N chacun sur une droite
    • 11.1.5  Minimiser AMNB avec M et N sur une droite d en imposant MN=L
    • 11.1.6  Un trajet difficile : minimiser AMB avec M sur un cercle
  • 11.2  Des problèmes de construction
    • 11.2.1  Construire un triangle connaissant a, b et m la longueur de la bissectrice de l’angle des côtés a et b
    • 11.2.2  Comment placer un pont
  • 11.3  Une transformation
  • 11.4  L’inverseur de Peaucellier
    • 11.4.1  Observation lorsque M décrit un cercle passant par O
    • 11.4.2  Démonstration
  • 11.5  Un pavage
    • 11.5.1  Construction d’un pavage invariant par des translations
    • 11.5.2  Avec un quadrilatère quelconque
    • 11.5.3  Avec une animation
    • 11.5.4  Construction d’un pavage triangulaire
    • 11.5.5  Construction d’un pavage carre
  • 11.6  Le pentagone, sin(π/5), sin(2π/5), cos(π/5 et cos(2π/5)
    • 11.6.1  Calcul exact de sin(2π/5) et de cos(2π/5)
    • 11.6.2  Calcul exact de sin(π/5) et de cos(π/5)
    • 11.6.3  Construction du pentagone comme avec la règle et le compas
  • 11.7  Des étoiles à 5 branches
    • 11.7.1  Une étoile à 5 branches
    • 11.7.2  Une étoile faite d’étoiles
    • 11.7.3  Le logo de Xcas
    • 11.7.4  La carte de visite de Xcas
    • 11.7.5  La carte de Noel de Xcas
    • 11.7.6  Encore des étoiles à 5 branches
    • 11.7.7  Le logo de l’UJF
  • 11.8  Puzzle : remplir un décagone avec des losanges
  • 11.9  Les deux hélices
    • 11.9.1  Le problème
    • 11.9.2  La modélisation avec Xcas
    • 11.9.3  Le raisonnement
• Chapitre 12  Pour s’amuser en géométrie dans l’espace
  • 12.1  Un patron du cube avec une animation
  • 12.2  Les pliages pour construire des deltaèdres
    • 12.2.1  Le rectangle de base
    • 12.2.2  Le pliage du rectangle
    • 12.2.3  Les Deltaèdres
    • 12.2.4  Activité en classe
  • 12.3  Le rhomboèdre
    • 12.3.1  La définition et la construction avec Xcas
    • 12.3.2  Activité en classe
  • 12.4  Le dodécaèdre rhombique
    • 12.4.1  La définition à partir d’un cube
    • 12.4.2  La définition et la construction avec Xcas
    • 12.4.3  Activité en classe
    • 12.4.4  Le graphe du dodécaèdre rhombique
    • 12.4.5  Le patron du dodécaèdre rhombique
  • 12.5  Le triacontaèdre rhombique
    • 12.5.1  La définition et la construction avec Xcas
    • 12.5.2  Activité en classe
  • 12.6  La forme géométrique d’une molécule dans l’espace
    • 12.6.1  Présentation du problème
    • 12.6.2  Un lemme
    • 12.6.3  Molécule du cyclohexane
    • 12.6.4  La molécule de glucose
    • 12.6.5  Les commandes des figures
• Chapitre 13  Les fractions continues
• Chapitre 14  Pour s’amuser avec des dessins récursifs
  • 14.1  Les sapins
  • 14.2  Les fleurs
  • 14.3  L’anémone
  • 14.4  La tulipe
  • 14.5  Les bouquets de fleurs
  • 14.6  La fougère
  • 14.7  Une autre fougère
  • 14.8  Le choux-fleur
    • 14.8.1  L’énoncé
    • 14.8.2  La correction
  • 14.9  Les arbres
    • 14.9.1  Un arbre
    • 14.9.2  Un arbre moins déplumé
    • 14.9.3  Un arbre epineux
    • 14.9.4  Le bouquet final
  • 14.10  Un exercice tiré des olympiades
    • 14.10.1  L’énoncé
    • 14.10.2  Le dessin
    • 14.10.3  La taille
    • 14.10.4  La limite de la taille
• Chapitre 15  Les carrés magiques
  • 15.1  Les matrices magiques d’odre 3
    • 15.1.1  Résultat préliminaire
    • 15.1.2  Les matrices magiques d’ordre 3
  • 15.2  Les carrés magiques eulériens et latins pandiagonaux
    • 15.2.1  Définitions
    • 15.2.2  Les carrés magiques latins pandiagonaux
    • 15.2.3  Les carrés magiques eulériens pandiagonaux
    • 15.2.4  La règle de Manuel Moscopule (14ième siécle) ou règle du cavalier
    • 15.2.5  Produit de 2 carrés magiques
    • 15.2.6  Démonstration de l’algorithme du cavalier
    • 15.2.7  Généralistion de l’algorithme du cavalier pour n≠ 2p et n≠ 3p
    • 15.2.8  Les programmes
    • 15.2.9  Les carrés eulériens pandiagonaux d’ordre 2,3 et 4
    • 15.2.10  Existence de carrés eulériens pandiagonaux d’ordre 6
  • 15.3  Les hexagones magiques
    • 15.3.1  Le dessin
    • 15.3.2  Le programme
    • 15.3.3  Les programmes des figures
• Chapitre 16  Les jeux
  • 16.1  Un jeu
  • 16.2  Le Master-Mind
    • 16.2.1  La règle du jeu
    • 16.2.2  Le programme du Master-Mind
    • 16.2.3  Le programme de la variante du Master-Mind
    • 16.2.4  Le mastermind avec les couleurs
  • 16.3  Les 4 dés du jeu de Win
  • 16.4  Un jeu de cartes
• Chapitre 17  Illusions d’optique
  • 17.1  Illusion sur les longueurs
  • 17.2  Illusion sur les formes
  • 17.3  Illusion de cordes torsadées
  • 17.4  Illustration