Chapitre 2  La suite de Fibonacci et le nombre d’or

2.1  Un exercice pour commencer

De combien de façons peut-on vider un tonneau de n litres avec un pot de 1 litre et un pot de 2 litres ? (2 façons sont identiques si la suite des prélèvements sont identiques par exemple pour n=3 on a (1,1,1), (1,2) et (2,1) soit 3 façons). Soit u(n) le nombre de façons de vider un tonneau de n litres avec un pot de 1 litre et un pot de 2 litres.
On a :
u(0)=1 il y a une façon de vider un tonneau vide !
u(1)=1
u(2)=2
u(3)=3
Soit un tonneau de n litres. Quand on a prélevé 1 litre, il reste à vider un tonneau de n−1 litres (cela se termine donc de u(n−1) façons) et quand on a prélevé 2 litres, il reste à vider un tonneau de n−2 litres (cela se termine donc de u(n−2) façons)
Donc :
u(n)=u(n−1)+u(n−2) avec u(0)=u(1)=1
On doit donc étudier cette suite récurrente qui s’appelle la suite de Fibonacci

2.2  La suite de Fibonacci

2.2.1  La définition

La suite de Fibonacci est la suite u définie par :
u₀=1
u₁=1
u_n=u_n−1+u_n−2 pour n>1

2.2.2  Le programme avec Xcas

Il ne faut surtout pas écrire un programme récursif car sinon on calcule les mêmes termes plusieurs fois : Pour avoir u_n :

Fibonacci(n):={
local a,b,c,k;
si n==0 ou n==1 alors
   retourne 1;
fsi;
a:=1;
b:=1;
pour k de 2 jusque n faire
    c:=a+b;
    a:=b;
    b:=c;
fpour;
retourne c;   
}:;

On tape :
Fibonacci(10)
On obtient :
89
Pour avoir les n premiers termes (le premier terme est u₀):

Fibonasuite(n):={
local a,b,c,L,k;
L:=NULL;
si n<=0 alors retourne L;fsi;
L:=L,1;
si n==1 alors retourne L;fsi;
L:=L,1;
si n==2 alors retourne L; fsi;
a:=1;
b:=1;
pour k de 3 jusque n faire
    c:=a+b;
    L:=L,c;
    a:=b;
    b:=c;
fpour;
retourne L;   
}:;

On tape :
Fibonasuite(11)
On obtient la suite des 11 premiers termes de la suite de Fibonnacci :
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89

2.2.3  Le programme récursif avec Xcas

Fibonarec(n):={
si (n==0 or n==1) alors retourne 1 fsi;
retourne Fibonarec(n-2)+Fibonarec(n-1);
}:;

ou encore une écriture récursive avec un when :

Fibonawhen(n):={
when(n==0 or n==1,1,Fibonawhen(n-2)+Fibonawhen(n-1));
}:;

Que faut-il calculer pour calculer Fibonarec(5) ?
Il faut calculer Fibonarec(3) et Fibonarec(4).
Pour calculer Fibonarec(3), il faut calculer Fibonarec(1) et Fibonarec(2).
Pour calculer Fibonarec(2), il faut calculer Fibonarec(0) et Fibonarec(1).
Pour calculer Fibonarec(4), il faut calculer Fibonarec(2) et Fibonarec(3) donc calculer Fibonarec(2) 2 fois et Fibonarec(3) 1 fois
Donc pour calculer Fibonarec(5) :
Fibonarec(2) doit être calculer 3 fois, Fibonarec(3) doit être calculer 2 fois et Fibonarec(4) doit être calculer 1 fois.
Que faut-il calculer pour calculer Fibonarec(6) ?
Il faut calculer Fibonarec(4) et Fibonarec(5).
Donc pour calculer Fibonarec(6) :
Fibonarec(5) doit être calculé 1 fois
Fibonarec(4) doit être calculé 1 fois.
Fibonarec(2) doit être calculé 2+3=5 fois, Fibonarec(3) doit être calculé 2+1=3 fois et Fibonarec(4) doit être calculé 2 fois.
On cherche v_n le nombre de fois qu’il faut calculer Fibonarec(2) pour calculer Fibonarec(n). On a :
v₂=1, v₃=1, v₄=2, v₅=3 et puisque pour calculer Fibonarec(n), il faut calculer Fibonarec(n-2) et Fibonarec(n-1), on a :
v_n=v_n−2+v_n−1
Donc v_n est la suite de Fibonacci commencant à n=2 :
v₂=1,v₃=1,v_n=v_n−2+v_n−1 i.e. v_n=u_n−2
On cherche w_n le nombre de fois qu’il faut calculer Fibonarec(p) pour calculer Fibonarec(n) lorsque p est fixé et vérifie 2≤ p≤ n. On a :
w_p=1, w_p+1=1 et
puisque pour calculer Fibonarec(n), il faut calculer Fibonarec(n-2) et Fibonarec(n-1), on a : w_n=w_n−2+w_n−1
Donc w_n=v_n+2−p=u_n−p

Pour vérifier, on cherche le temps mis pour calculer u₂₁,u₂₂,u₂₃ avec la fonction récursive Fibonarec(22) Fibonarec(21), Fibonarec(22) et Fibonarec(23).
On tape :
time(Fibonarec(21))
On obtient : [1.75,1.802534401]
On tape :
time(Fibonarec(22))
On obtient : [2.79,2.825411609]
On tape :
time(Fibonarec(23))
On obtient : [4.59,4.614912788]
On a : 1.75+2.79 renvoie 4.54 qui est proche de 4.59 et 1.802534401+2.825411609 renvoie 4.62794601 qui est proche de 4.614912788
On modifie Fibonasuite en Fibonarectime qui donnera le temps mis pour calculer Fibonarec(0)...Fibonarec(n) en mettant comme 4 premiers termes 0,0,0.00022,0.0003 (car le temps mis pour calculer Fibonarec(2) est environ 0.00022 et le temps mis pour calculer et Fibonarec(3) est environ 0.0003:

Fibonarectime(n):={
local a,b,c,L,k;
L:=0,0;
si n<=1 alors retourne L;fsi;
L:=L,0.00022;
si n==2 alors retourne L;fsi;
L:=L,0.0003;
si n==3 alors retourne L; fsi;
a:=0.00022;
b:=0.0003;
pour k de 4 jusque n faire
    c:=a+b;
    L:=L,c;
    a:=b;
    b:=c;
fpour;
retourne L;   
}:;

On tape :
T:=Fibonarectime(24)
T[21],T[22],T[23],T[24]
On obtient :
1.82278,2.94932,4.7721,7.72142
Peut-on espérer calculer Fibonarec(30) ? On tape :
T:=Fibonarectime(30)
T[30]
On obtient :
138.55526
cela fait un temps de 138.55526 secondes soit plus de 2 minutes !
Je teste en tapant :
time(Fibonarec(30))
On obtient :
[141.16,142.640424131]
Le premier nombre est le temps CPU (temps mis par le processeur pour faire uniquement ces calculs, en seconde), le deuxième nombre est le temps mis pour faire le calcul comme si on chronomètrait.

2.2.4  Propriété

La suite de Fibonnacci vérifie :

En effet :
1*2−1=1, 3*1−2²=−1, 5*2−3²=1
et on a :
u_n+1.u_n−1−u_n²=u_n.u_n−1+u_n−1²−u_n²=u_n(u_n−1−u_n)+u_n−1²
Donc :
u_n+1.u_n−1−u_n²=−u_n.u_n−2+u_n−1².
On a par exemple : 5*13−8²=1
Cela conduit au paradoxe suivant :
Soit un carré de côté 8 unités. 0n le découpe en 4 morceaux et on dispose ces 4 morceaux comme ci dessous (on pourrait faire la même chose avec un carré de côté un des termes u_n de la suite de Fibonacci puis faire le découpage en utilisant les 2 termes précedents u_n−2 et u_n−1 ):
Le carré a comme surface 64 carrés alors que le rectangle est composé de 5*13=65 carrés. D’où vient le carré supplémentaire ? Le carré supplémentaire est l’aire du parallélogramme bleu !!!!

En effet les bords des 4 morceaux ne suivent pas la diagonale du rectangle qui a comme pente −5/13 ce qui est différent de -2/5 et de -3/8.
Selon la longueur du carré initial il peut soit y avoir un petit carré en trop soit en manquer 1 puisque u_n+1.u_n−1−u_n²=(−1)ⁿ⁻¹.

2.3  La suite de Fibonacci et le triangle de Pascal

2.3.1  Le triangle de Pascal

Pour avoir les premières valeurs du triangle de Pascal, on tape :
A:=makemat((j,k)->comb(j,k),11,11)
On obtient :
(

)
On peut aussi utiliser le tableur et la relation :
pour n ∈ ℕ : C_n⁰=1, C_nⁿ=1 et C_n^p=C_n−1^p+C_n−1^p−1 pour 0<p<n.
On ouvre un niveau tableur et on choisit 22 lignes et 11 colonnes.
On met 1 dans A0.
Puis, on copie A0 vers le bas pour avoir des 1 dans la colonne A.
Dans B1 on met =B0+A0 formule que l’on copie vers le bas et vers la droite.
On copie alors vers le bas la formule située dans C1,...K1.
Remarque On peut mettre idn(11) dans A0, et si on a coché sur Distribuer, cela a pour effet de remplir 11 lignes et 11 colonnes avec la matrice identité d’ordre 11. Mais cela est inutile car les 1 de la diagonale sont recalculés quand on copie vers la droite !
On obtient :
(

)
On a ainsi les coefficients binomiaux utiles pour le développement de (1+x)ⁿ pour n=0..21.

2.3.2  La somme des diagonales montantes

Lorsqu’on fait la somme des diagonales montantes du triangle de Pascal on obtient la suite de Fibonacci.
Par exemple :
(

) (

)
On tape :
L:=sum(A[j-k, k],k=0..j)$(j=0..10)
On obtient :
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89
Pour le montrer on utilise les relations pour n ∈ ℕ et p ∈ ℕ :
C_n⁰=1, C_nⁿ=1, C_n^p=0 si p>n et C_n^p=C_n−1^p+C_n−1^p−1 pour 0<p≤ n.
On tape :
simplify(comb(j-1,k-1)+comb(j-1,k)-comb(j,k))
On obtient :
0
Soit a_n la suite définie par la somme des diagonales montantes du triangle de Pascal.
On a donc :
a₀=1, a₁=1 et pour n>1:
a_n=∑_p=0^floor(n/2)comb(n-p,p)=1+∑_p=1^floor(n/2)comb(n-p,p)
a_n=1+∑_p=1^floor(n/2)comb(n-p-1,p-1)+∑_p=1^floor(n/2)comb(n-p-1,p)
On a pour tout n : floor(n/2)-1=floor((n-2)/2)).
On a si n=2k, on a floor(n/2)=floor((n-1)/2)+1=k:
1+∑_p=1^floor(n/2)comb(n-p-1,p)=
∑_p=0^{floor((n-1)/2)}comb(n-1-p,p)+comb(2k-1-k,k)=a_n−1
car comb(2k-1-k,k)=0
∑_p=1^floor(n/2)comb(n-p-1,p-1)=
∑_p=0^{floor((n-2)/2)}comb(n-2-p,p)=a_n−2
car floor(n/2)-1=floor((n-2)/2)
On a si n=2k+1 alors floor(n/2)=floor((n-1)/2)=k :
1+∑_p=1^floor(n/2)comb(n-p-1,p)=
∑_p=0^{floor((n-1)/2)}comb(n-1-p,p)=a_n−1
∑_p=1^floor(n/2)comb(n-p-1,p-1)=
∑_p=0^{floor((n-2)/2)}comb(n-2-p,p)=a_n−2
car floor(n/2)-1=floor((n-2)/2)
Donc :
a₀=1, a₁=1 et pour n>1 on a a_n=a_n−1+a_n−2
a_n est donc la suite de Fibonacci.
On tape :
L1:=0,sum(A[j-k-1,k-1],k=1..j-1)$(j=1..10)
On obtient :
0,0,1,1,2,3,5,8,13,21,34
On tape :
L2:=1,sum(A[j-k-1,k],k=0..j-1)$(j=1..10)
On obtient :
1,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55
On tape :
[L1]+[L2]
On obtient :
[1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89]
On tape :
simplify(comb(j-1,k-1)+comb(j-1,k)-comb(j,k))
On obtient :
0

2.4  Le code de Fibonacci

À partir de "sa" suite Fibonacci a fabriqué un code qui permet d’écrire tous les entiers avec des 0 et des 1. Pour cela, si u_n est la suite de Fibonacci u₀=u₁=1 et pour n≥2 u_n=u_n−2+u_n−1, le code de 0 est 0 et pour n>0 le code des nombres u_n est 1 suivi de n−1 zéros.
On a ainsi :
0 a pour code 0
1 a pour code 1
2 a pour code 10
3 a pour code 100
4 a pour code 101 car 4=3+1
5 a pour code 1000
6 a pour code 1001 car 6=5+1
7 a pour code 1010 car 7=5+2
8 a pour code 10000
etc...
On remarquera que dans ce code il n’y a jamais deux 1 qui se suivent, en effet :
u_n−1+u_n−2=u_n.
Par exemple le nombre :
u₁+u₂+u₃+u₄=1+2+3+5=11 a comme code 1010 car 11=8+3.
Exercice
Écrire un programme qui renvoie le code de Fibonacci d’un entier n≥ 10⁸.
On remarquera que u₃₈<10⁸<u₃₉.
On construit la liste des 40 premiers termes de u_n pour n=0,1..39.
Le codage
On utilise le programme vu précédemment :

Fibonasuite(n):={
local a,b,c,L;
L:=NULL;
si n<=0 alors retourne L;fsi;
L:=L,1;
si n==1 alors retourne L;fsi;
L:=L,1;
si n==2 alors retourne L; fsi;
a:=1;
b:=1;
pour k de 3 jusque n faire
    c:=a+b;
    L:=L,c;
    a:=b;
    b:=c;
fpour;
retourne L;   
}:;

On écrit le code d’un nombre n au moyen d’une chaîne de caractères : c’est string qui transforme l’écriture d’un nombre en une chaîne de caractères

codefib(n):={
local fib,cod,p;
si n>10^8 alors retourne "l'entier doit etre <10^8" fsi;
si (n==0 or n==1) alors  return n fsi;
fib:=Fibonasuite(40);
cod:=0;
repeter
p:=2;
tantque n>=fib[p] faire p:=p+1 ftantque;
// fib[p-1]<=n<fib[p]
cod:=10^(p-2)+cod;
n:=n-fib[p-1];
jusqua n==0;
retourne string(cod);
}:;

On tape :
codefib(n)$(n=0..20)
On obtient une suite de chaînes :
0,1,10,100,101,1000,1001,1010,10000,10001,10010,10100,10101,
100000,100001,100010,100100,100101,101000,101001,101010
Le décodage
On donne une chaîne de caractères L de 1 et de zéro qui est le code de Fibonacci d’un nombre n et on obtient le nombre n codé par L.
On remarquera que le décodage ci-dessous ne vérifie pas que L est bien un code de Fobonacci : il peut y avoir 2 "1" à la suite (par ex decodefib("11") renverra 3) et les chiffres autres que "1" seront considérés comme des "0" (par ex decodefib("15") renverra 2).
On tape :

decodefib(L):={
local k,n,s,fib;
fib:=Fibonasuite(40);
s:=dim(L);
si s==1 alors return expr(L[0]); fsi; 
n:=0;
pour k de 0 jusque s-1 faire
si L[k]=="1" alors n:=n+fib[s-k];fsi; 
fpour;
return n;
}:;

On tape :
decodefib("101010"),decodefib("10101")
On obtient :
20,12

2.5  Le nombre d’or

Les quotients des termes successifs de la suite de Fibonnacci est la suite v_n=u_n+1/u_n pour n ≥ 0
Cette suite converge vers 1+√5/2 : c’est le nombre d’or qui est noté Φ.
En effet, on a v₀=1 et v_n=1+u_n−1/u_n=1+1/v_n−1 donc
v₁=2, v₂=3/2, v₃=5/3.
Montrons par reécurrence que 1 ≤ v_n ≤ 2 pour tout n : 1≤ v₀=1<2 si 1 ≤ v_n−1<2 alors 1/2≤ 1/v_n−1≤ 1 donc 1≤ 1+1/2 ≤ v_n≤ 1+1=2
Étude du signe de v_n−v_n−1 :
v_n−v_n−1=1/v_n−1−1/v_n−2=v_n−2−v_n−1/v_n−1v_n−2
Donc v_n−v_n−1 est du signe opposé à celui de v_n−1−v_n−2.
Donc v_2n−v_2n−2 a le mme signe que v₂−v₀=1/2>0 et
v_2n+1−v_2n−1 a le même signe que v₃−v₁=−1/3<0
La suite v_2n est convergente vers 1≤ a≤ 2 car croissante et majorée.
v_2n+1 est convergente vers 1≤ b≤ 2 car décroissante et minorée.
On doit avoir a=1+1/b et b=1+1/a donc ab=b+1=a+1 donc a=b Donc v converge vers a=b=φ qui vérifie :
φ=1+1/φ ou encore φ²−φ−1=0 et 1≤ φ ≤ 2. donc φ=1+√5/2 Le nombre d’or est :

2.5.1  Propriétés du nombre d’or

Si un réctangle est tel que le rapport de la longueur L à la largeur l soit φ alors :

On tape :

spiror(a,b,n):={
local au,r,L;
L:=NULL;
si n==0 alors retourne L,segment(a,b);fsi;
au :=(1+sqrt(5))/2;
L:=L,rectangle(a,b,au-1);
r:=(b-a)*(au-1);
L:=L,affichage(cercle(a+r,r,pi/2,pi),1);
retourne L,spiror(a+r*(1+i),a+r,n-1);
}:;

puis on tape :
spiror(0,1/2+sqrt(5)/2,7)
On obtient :

2.6  Un exercice niveau trousième

On veut construire un rectangle d’or i.e. un rectangle tel que :
longueur/largeur =1+√5/2=Φ.
Tout d’abord étant donné un segment AB, on construit un point M tel que AB/MB=MB/MA=1+√5/2=Φ
Soient a un nombre réel positif et ABC un triangle rectangle en A tel que AB=a et AC=a/2.
Soit N intersection du cercle de centre C et de rayon AC.
Soit M intersection du cercle de centre B et de rayon BN.

Calculer les longueurs BC, BN, BM et AM.
Montrer que M partage BA selon le nombre d’or i.e. :

En déduire une construction d’un rectangle d’or avec Xcas
Solution
D’après le théorème de Phytagore on a :
BC²=AB²+AC²=a²+a²/4=5a²/4
Donc :
BC=a√5/2
BN=BM=BC−CN=BC−a/2=a(√5−1/2
AM=AB−BM=a−a(√5−1/2=a(3−√5/2
On a donc :

Remarque
On peut se servir de Xcas pour faire les calculs.
On peut stocker les valeurs dans des variables. On tape :
a^2+a^2/4
On obtient BC² :
5*a^2/4
On tape :
factor(sqrt(5*a^2/4))
On obtient BC :
sqrt(5)*a/2
On tape :
factor(a*sqrt(5)/2-a/2)
On obtient CN et BM :
(sqrt(5)-1)*a/2
On tape :
factor(a-(sqrt(5)-1)*a/2)
On obtient AM :
(-(sqrt(5))+3)*a/2
On tape :
normal((sqrt(5)-1)*a/2/((-(sqrt(5))+3)*a/2))
On obtient BM/AM :
(sqrt(5)+1)/2
On tape :
normal(a/((sqrt(5)-1)*a/2))
On obtient AB/BM :
(sqrt(5)+1)/2.
On peut stocker les valeurs dans des variables pour que les calculs soient plus lisibles.
On tape :
BC:=factor(sqrt(a^2+a^2/4))
On obtient BC :
sqrt(5)*a/2
On tape :
BM:=factor(BC-a/2)
On obtient CN et BM :
a*(sqrt(5)-1)/2
On tape :
AM:=factor(a-BM)
On obtient AM :
a*(-(sqrt(5))+3)/2
On tape :
normal(BM/AM)
On obtient BM/AM :
(sqrt(5)+1)/2
On tape :
normal(a/BM)
On obtient AB/BM :
(sqrt(5)+1)/2.
Construction du rectangle d’or

A:=point(0);
B:=point(4);
K:=point(0,2,affichage=3);
triangle(A,B,K,affichage=3);
cercle(K,2,affichage=3);
N:=inter(cercle(K,2),segment(K,B));
l:=longueur(K,B);
cercle(B,l-2,affichage=3);
M:=inter(cercle(B,l-2),segment(A,B));
rectangle(A,B,(l-2)/4,D,C);
L:=point(6-l,l-2);
segment(M,L);

On obtient :

Les rectangles ABCD et AMLD sont des rectangles d’or et MBCL est un carré.

2.7  Un exercice niveau terminale

2.7.1  L’énoncé

On cosidère la fonction f definie sur ℝ^* par :

On note f@@ n=f∘ f..∘ f (On compose f, n fois)

1. Calculer : f@@ 2=f∘ f,  f@@ 3=f∘ f∘ f,  f@@ 4=f∘ f∘ f∘ f
2. Trouver la valeur de f@@ n en fonction de n.
3. Résoudre, lorsqu’on utilise n traits de fractions, l’équation d’inconnue x :

   x=1+	1 1+ 1 1+ 1 1+ 1 ...+ 1 1+ 1 x

4. Touver la limite lorsque n tends vers +∞ de

   1+	1 1+ 1 1+ 1 1+ 1 ...+ 1 1+ 1 a

   lorsque a>0 et lorsqu’on utilise n traits de fractions.

2.7.2  La solution avec Xcas

1. On définit la fonction f, on tape :
   f(x):=(x+1)/x
   On calcule f@@ 2=f(f(x)), on tape :
   normal((f@@2)(x))
   On obtient :
   (2*x+1)/(x+1)
   On calcule f@@ 3=f(f(f(x))), on tape :
   normal((f@@3)(x))
   On obtient :
   (3*x+2)/(2*x+1)
   On calcule f@@ 4, on tape :
   normal((f@@4)(x))
   On obtient :
   (5*x+3)/(3*x+2)
   
2. On suppose que : f@@ n=a_nx+b_n/c_nx+d_n
   On cherche une relation de récurrence entre les différents coefficients.
   On définit la fonction g, on tape :
   g(x,a,b,c,d):=(a*x+b)/(c*x+d)
   On a : (f@@ n+1)(x)=f(g(x,a,b,c,d))
   On calcule f(g(x,a,b,c,d)) et on tape :
   normal(f(g(x,a,b,c,d)))
   On obtient :
   (a*x+b+c*x+d)/(a*x+b)
   donc :
   c_n+1=a_n, d_n+1=b_n
   a_n+1=a_n+c_n=a_n+a_n−1
   b_n+1=b_n+d_n=b_n+b_n−1
   On sait que a₁=1, b₁=1 a₀=c₁=1 b₀=d₁=0
   Donc si la suite de Fibonacci est la suite u définie par :
   u₀=1,  u₁=1
   u_n=u_n−1+u_n−2 pour n>1:
   Alors f@@ n=a_nx+b_n/c_nx+d_n avec a_n=u_n, b_n=c_n=a_n−1, d_n=a_n−2
3. On résout l’équation d’inconnue x, avec 1 trait de fractions : x=1+1/x
   On tape :
   normal(1+1/x)
   On obtient : (x+1)/x
   Donc f(x)=1+1/x
   Il faut donc résoudre f(x)=x, on tape :
   solve(x=f(x),x)
   On obtient : [1/2*(1-sqrt(5)),1/2*(1+sqrt(5))]
   On reconnait le nombre d’or et l’inverse de son opposé.
   On résout l’équation d’inconnue x, avec 2 traits de fractions : x=1+ 1/1+ 1/x
   On tape :
   normal(1+1/(1+1/x))
   On obtient : (2*x+1)/(x+1)
   On reconnait f(f(x)) ou bien puisque f(x)=1+1/x, on a :
   1+ 1/1+ 1/x=1+1/f(x)=f(f(x))
   . Il faut donc résoudre f(f(x))=x, on tape :
   solve(f(f(x))=x,x)
   On obtient : [1/2*(1-sqrt(5)),1/2*(1+sqrt(5))]
   qui sont les mêmes solutions qur f(x)=x.
   On doit résoudre l’équation avec n traits de fractions : (f@@ n)(x)=x
   Comme (f@@ n) est une fonction homographique (i.e. (f@@ n)(x) est de la forme (a*x+b)/(c*x+d))), cette équation est une équation du 2-nd degré donc admet au plus 2 solutions. Les 2 solutions de f(x)=x sont aussi solutions de (f@@ n)(x)=x donc (f@@ n)(x)=x a les mêmes solutions que f(x)=x.
4. Chercher la limite lorsque le nombre de traits tend vers l’infini de :

   1+	1 1+ 1 1+ 1 1+ 1 ... 1 1+ 1 a

   revient à chercher la limite de la suite des itérées de f définit par : u₀=a>0, u_n=f(u_n−1) pour n>0. On a en effet (avec n traits de fractions) :

   un=1+

   1 1+ 1 1+ 1 1+ 1 ... 1 1+ 1 a

   . Avec Xcas, on tape dans un niveau de géométrie 2-d :
   supposons(a=[6.0,0,9,0.1])
   plotseq(1+1/x,[a,0,9],5)
   On obtient :
   Montrons que la suite u_n converge vers φ=1+√5/2 qui est la solution positive de l’équation f(x)=x.
   Puisque a>0, on a u₁=b=1+1/a>1>0 et pour tout n>0 u_n>1>0.
   Si u₀=a>φ alors b=u₁=1+1/a<1+1/φ=φ et
   si u₀=a<φ alors b=u₁=1+1/a>1+1/φ=φ De même si c=u_n>φ alors d=u_n+1=1+1/c<φ et u_n+2=1+1/c>φ.
   Suupposons par exemple que a=u₀>φ
   Alors pour tout n∈ ℕ on a u_2n>φ et u_2n+1<φ
   On a :
   u_n+1−u_n=f(u_n)−f(u_n−1)=1/u_n−1/u_n−1=(u_n−1−u_n)/(u_n−1u_n)
   Comme (u_n−1u_n)>0 on en déduit que u_n+1−u_n et u_n−u_n−1− sont de signe opposé donc que u_n+1−u_n et u_n−1−u_n−2 et sont de même signe.
   Ainsi u_2n−u_2n−2 a le même signe que u₂−u₀ et
   u_2n+1−u_2n−1 a le même signe que u₃−u₁.
   Signe de u₂−u₀ :
   u₂−u₀=(2a+1)/(a+1)−a=(−a²+a+1)/(a+1)<0 puisque a>φ et que φ est la plus grande racine de −x²+x+1
   Signe de u₃−u₁ :
   u₃−u₁=(2b+1)/(b+1)−b=(−b²+b+1)/(b+1)>0 puisque 0<b<φ et que φ est la plus grande racine de −x²+x+1 et que 0 se trouve entre les racines.
   On a donc montrer que u_2n est décroissante et minorée donc est convergente vers la solution positive de f(f(x))=x qui est φ et que u_2n+1 est croissante et majorée donc est convergente vers la solution positive de f(f(x))=x qui est φ . Donc u_n converge vers φ.
   Remarque Lorsque a=1, u_n est le quotient de de 2 termes consécutifs de la suite de Fibonacci.

2.8  Deux suites convergentes vers le nombre d’or L

2.8.1  u₀=1 et u_n+1=√1+u_n pour n∈ ℕ

Soit la suite u définie par :
u₀=1 et u_n+1=√1+u_n pour n∈ ℕ.
Calculer une valeur approché de u₅.
Montrer que u est à terme positif et est croissante (on montrera que u_n+1−u_n>0 pour n∈ ℕ).
Soit L la racine positive de x²−x−1=0.
Montrer que u_n<L pour n∈ ℕ.
En déduire que u converge vers L=1+√5/2
On tape :
sqrt(1+sqrt(1+sqrt(1+sqrt(1+sqrt(2.)))))
On obtient :
1.61612120651
ou bien, on tape :
1
sqrt(1.+ans())
On valide la dernière ligne 5 fois et on obtient :
1.61612120651
ou bien, on utilise le tableur...
On tape :
mult_conjugate(sqrt(1+u1)-sqrt(1+u0))
On obtient apres simplification du numérateur :
(-u0+u1)/(sqrt(1+u1)+sqrt(1+u0))
ce qui veut dire que u₂−u₁ a la même signe que u₁−u₀=√2−1>0.
Le même calcul montre que u_n+1−u_n a la même signe que u_n−u_n−1 qui a la même signe que u_n−1−u_n−2 etc..qui a la même signe que u₁−u₀.
Donc u_n+1−u_n>0 pour n∈ ℕ. La suite u est donc croissante.
On tape :
solve(x^2-x-1)
On obtient :
[1/2*(1-(sqrt(5))),1/2*(1+sqrt(5))]
Donc L=1/2*(1+√5)≃ 1.61803398875 et L=√1+L.
On tape :
mult_conjugate(sqrt(1+un)-sqrt(1+L))
On obtient :
(-L+un)/(sqrt(1+un)+sqrt(1+L))
Donc u_n+1−L a le même signe que u_n−L qui a la même signe que u_n−1−L etc..qui a la même signe que u₀−L=1/2*(1−sqrt(5))<0. Donc u est majorée par L.
La suite u est croissante et major'e donc u est convergente et sa limite a vérifie a=√1+a. Donc a=L.
La convergence de u_n n’est pas très rapide puisque u₅ donne la valeur de L avec seulement 2 décimales exactes.

2.8.2  u₀=2 et u_n+1=u_n²+1/2u_n−1 pour n∈ ℕ

Soit la suite u définie par :
u₀=2 et u_n+1=u_n²+1/2u_n−1 pour n∈ ℕ.
En considérant la fonction g définie par g(x)=x²−x−1, montrer que u_n est la suite de la méthode de Newton pour trouver une valeur approchée de L:=1/2*(1+sqrt(5)) qui est le zéro de g dans [1,2], c’est à dire que u_n+1=u_n−g(u_n/g′(u_n).
Montrer que u_n+1−L=(u_n−L)²/2u_n−1.
Montrer par récurrence que u_n>L pour tout n∈ ℕ
Montrer que u est décroissante et converge vers L
Calculer une valeur approché de u₅.
On tape :
g(x):=x^2-x-1
f(x):=x-g(x)/g’(x)
normal(f(x))
On obtient : (x^2+1)/(2*x-1)
Donc u_n+1=f(u_n).
On tape :
L:=1/2*(1+sqrt(5))
normal(f(L))
On obtient : 1/2*(1+sqrt(5))
Donc f(L)=L On tape pour calculer u_n+1−L:
factor(f(un)-f(L))
On obtient :
(2*(un+(-(sqrt(5))-1)/2)^2)/(4*un-2)
On a u₀=2>L et si u_n>L alors 2u_n−1>2L−1>0 donc puisque u_n+1−L=(u_n−L)²/2u_n−1>0 on en déduit que u_n+1>L.
On tape pour avoir le signe de u_n+1−u_n :
normal(f(un)-un)
On obtient : (-un^2+un+1)/(2*un-1)
Comme u_n>L u_n est à l’extérieur des racines de −x²+x+1 donc −u_n²+u_n+1<0 et 2u_n−1>0 donc u_n+1−u_n<0 donc u est décroissante et converge vers a la racine positive de f(x)−x.
On tape :
normal(solve(f(x)-x))
On obtient : [(-(sqrt(5))+1)/2,(sqrt(5)+1)/2]
Donc a=L=(√5+1)/2
On tape :
(f@@5)(2.)
On obtient (avec 30 chiffres significatifs):
1.618033988749894848204586838338
On tape :
(f@@5)(2.)-(sqrt(5)+1)/2.
On obtient :
0.3972703518693015452053465054764e-26
La convergence de u_n est tres rapide puisque u₅ donne la valeur de L avec 26 décimales exactes.

2.9  Le nombre d’or et cos(π/5)

2.9.1  Calcul de cos(2π/5)

Soit z₁=exp(i*2π/5).
z₁=a+ib=cos(2π/5)+i*sin(2π/5) est la racine de z⁵−1=0 qui vérifie a>0 et b>0.
Puisque z⁵−1=(z−1)(z⁴+z³+z²+z+1), z₁=a+ib est la racine de z⁴+z³+z²+z+1=(z+1/z)²+(z+1/z)−1=0.
On pose Z=z+1/z et on tape :
solve(Z^2+Z-1,Z)
On obtient : [1/2*(-1-sqrt(5)),1/2*(-1+sqrt(5))]
Comme z₁=a+ib est de module 1, on a 1/z1=a−ib et donc z1+1/z1=2a=2cos(2π/5).
On a donc :

On tape :
normal(expand((1/4*(-1+sqrt(5)))^2))
On obtient : (-sqrt(5)+3)/8
Donc :

2.9.2  Calcul de 2cos(π/5)

On a : cos(2π/5)=2cos(π/5)²−1
Donc :
2cos(π/5)²=cos(2π/5)+1)=−1+√5/4+1
On tape : normal(1/4*(-1+sqrt(5))+1)
On obtient : (sqrt(5)+3)/4
Donc :

On tape : normal(expand((1/4*(1+sqrt(5)))^2))
On obtient : (sqrt(5)+3)/8
Donc :

Le nombre d’or est :

Donc