Chapitre 3  Les fractions continues et π

3.1  Développement en fractions continues de π

Avec Xcas si on tape :
evalf(pi,21)
On obtient :
3.141592653589793238462
Une valeur approchée par excès de π par un rationnel est :

On a 22/7≃ 3.14285714286 ce qui fait 2 décimales exactes et
evalf(22/7-pi) renvoie 0.00126448926721
Donc 0<22/7−0.0013<π<22/7 et 0<22/7−π<1.310⁻³
Une autre valeur approchée par excès de π par un rationnel est :

On a 355/113≃ 3.14159292035 ce qui fait 6 décimales exactes et
evalf(355/113-pi) renvoie 2.66764118351e-07
Donc 0<355/113−2.67e−07<π<355/113
Une valeur approchée par défaut de π par un rationnel est :

On a 333/106≃ 3.14150943396 ce qui fait 4 décimales exactes et
evalf(pi-333/106) renvoie 8.32196276406e-05
Donc

Ces approximations proviennent du développement en fractions continues de π.
On tape :
dfc(pi)
On obtient :
[3,7,15,1,292,1,1]
On tape :
dfc2f([3,7])
On obtient 3+1/7 :
22/7
On tape :
dfc2f([3,7,15])
On obtient 3+1/(7+1/15):
333/106
On tape :
dfc2f([3,7,15,1])
On obtient 3+1/(7+1/(15+1)) :
355/113

3.2  construction d’un carré ayant pour aire 22/7

Ce carré a pour coté : √22/√7.
On a :
22=5²−3 et 7=2²+3
Donc :
√22 est le 2ième côté de l’angle droit d’un triangle rectangle dont l’hypoténuse a pour longueur 5 et un côté de l’angle droit a pour longueur √3.
√7 est la longueur de l’hypoténuse d’un triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit ont pour longueur 2 et √3.
On tape :

triangle_equilateral(1,3,C):;
C:=C;
A:=point(-1);B:=point(1);
l:=normal(longueur(A,C));
D:=point(4);
segment(A,D);
c:=cercle(A,D);
F:=inter(c,cercle(A,l/2),C);
normal(longueur2(F,D));
normal(longueur2(D,C));
G:=D+(C-D)/longueur(C,D);
normal(longueur2(D,G));
H:=normal(inter_unique(segment(D,F),parallele(G,droite(F,C))));
normal(longueur(H,D));
segment(F,D),segment(D,C);
carre(D,H,K,L,affichage=1);

On obtient l’aire du carré rouge approche par excèsà 1.310⁻³ l’aire du cercle rouge de diamètre AB:

On a :
normal(longueur(A,C)); renvoie 2*sqrt(3)
normal(longueur2(F,D) renvoie 22
normal(longueur2(D,C)); renvoie 7
normal(longueur2(D,G)) renvoie 1
normal(longueur(H,D)); renvoie (sqrt(154))/7
normal(longueur2(H,D)); renvoie 22/7
aire(carre(D,H)) renvoie 22/7

3.3  Construction par Ramanujan d’un carré d’aire 355/113

En 1913 Ramanujan proposa la construction d’un carré ayant pour aire celle d’un cercle de rayon 1 avec une erreur de 1.47*10⁻⁵.
Ce carré a pour coté : √355/√113.
On a :
355=18²+31 et 113=12²−31
355/9²=4+31/9² et 113/6²=4−31/6²
Il reste a construire √31.
On a :
31=6²−5
Voici la construction de ce carré faite par Ramanujan.
Soit le cercle c de centre O et de diamètre PR=2.
Avec Xcas, on prend :
O:=point(0);P:=point(-1);R:=point(1);
H:=point(-1/2);T:=point(2/3);
Le cercle c passe par le point Q:=point(2/3+i*sqrt(5)/3);
On a RS=QT=sqrt(5)/3
On définit les projections M et N respectives M et N de O et T sur PS.
On définit :
L:=point(-1-i*longueur(M,N));
K sur le cercle c tel que PK=PM
C sur le segment RK tel que RC=RH=3/2 D sur le segment RL tel que CD//KL
Le carré de côté RD a alors pour côté :

Avec Xcas, ontape :

O:=point(0);
P:=point(-1);
R:=point(1);
H:=point(-1/2);
T:=point(2/3);
c:=cercle(O,1,affichage=4+epaisseur_ligne_2);
Q:=point(2/3+i*sqrt(5)/3);
S:=inter_unique(c,cercle(R,sqrt(5)/3),Q);
s:=segment(P,S);
M:=projection(s,O);
N:=projection(s,T);
L:=point(-1-i*longueur(M,N));
K:=inter_unique(c,cercle(P,longueur(P,M)),L);
C:=inter_unique(droite(R,K),cercle(R,3/2),K);
D:=inter_unique(droite(L,R),parallele(C,droite(L,K)));
carre(D,R,affichage=1+epaisseur_ligne_2);
segment(P,L);
segment(R,S);
segment(R,L);
segment(R,K);
segment(L,K);
segment(D,C);
segment(O,M);
segment(T,N);
cercle(P,longueur(M,P),affichage=ligne_tiret_point);
cercle(R,3/2,affichage=ligne_tiret_point);

On tape :
evalf(aire(carre(D,R)))
On obtient :
3.14157798199
On tape :
evalf(pi-aire(carre(D,R)))
On obtient :
1.46716034237e-05
On obtient la figure :

Calcul de RD²
On a :
RS²=5/9
PS²=4−5/9=31/9
PK²=PM²=PS²/4=31/36
PL²=MN²=PS²/9=31/81
RK²=4−PK²=113/36
RL²=4+PL²=355/81
RC²=RH²=9/4
RD²/RL²=R²C/RK²=81/113
Donc RD²=355/113

3.4  Une valeur approchée de π par (9²+19²/22)⁽1/4)

On tape :
A:=(9^2+19^2/22)^(1/4)
evalf(A)
On obtient :
3.14159265258
On tape : evalf(pi)
On obtient : 3.14159265359
On tape :
evalf(pi-A)
On obtient :
1.00715169538e-09

3.5  Un nombre quasi-entier : (ln(5280³*(236674+30303*√61)³+744)/π)²

Avec Xcas, on tape :
A:=ln(5280^3*((236674+30303*sqrt(61))^(3))+744)
evalf((A/pi)^2)
On obtient :
427.0
On tape :
evalf((A/pi)^2,52)
On obtient :
0.4270000000000000000000000000000000000000000000000000e3
On tape :
evalf((A/pi)^2,55)
On obtient :
0.4270000000000000000000000000000000000000000000000000106e3