Cours de mathématiques pour la physique

(en Master 1, Master 2 de physique)

1 Notes de Cours

• Introduction, Formulaire, index, Table des matières.
• Chapitre 1: Analyse de Fourier, distributions et EDP à coefs constants
• Chapitre 2: espaces vectoriels et tensoriels
• Chapitre 3: groupes de matrices et représentations
• Chapitre 4: bases de la géométrie différentielles
• Chapitre 5: espaces fibrés avec connexion
• Solution des exercices

2 Présentation

2.1 Objectifs:

2.2 Contenu des séances:

• Une séance est structurée en deux parties de 1h30 (séparée par une pause):
  • Dans la première partie, c'est un cours collectif "traditionnel" avec exercices sur un des thèmes ci-dessous.
  • Dans la deuxième partie, les étudiants travaillent en petits groupes (par 2 ou 3) et travaillent sur un projet qu'ils ont choisi en début d'année et qu'ils présenteront sous forme de compte rendu et exposé en fin de cycle. L'enseignant est présent pour encadrer et discuter individuellement.
• Quelques aspects d'analyse. Régularité des fonctions, des fonctions continues Hölder aux fonctions analytique. Distributions. Transformation par ondelette. Introductions aux EDP ( = Equations aux Dérivées Partielles).
• Quelques aspects d'algèbre linéaire et théorie des opérateurs. Spectre, forme normale de Jordan, pseudo-spectre, résolvente. Opérateurs de rang fini, à trace, Hilbert-Schmidt, compacts, bornés, non bornés. Noyau de Schwartz d'un opérateur sur un espace fonctionnel. Fonction de Green.
• Bases de la géométrie différentielle, appliquée à la physique: formes différentielles, calcul extérieur, tenseur métrique, Laplacien de Hodge, equations de Maxwell en relativité, connections sur un fibré vectoriel, dérivée covariante, théorie de Jauge.

2.3 Validation. Contrôle des connaissances.

3 Exercices de TD

3.1 TD Algèbre linéaire

• TD1: "Algèbre linéaire". Enoncé.

3.2 TD géométrie différentielle et physique

• TD. 1: champs de vecteurs, 1-formes. Enoncé. Solutions.
• TD. 2: métrique $g$ et forme symplectique $\Omega$. Enoncé. Solutions.
• TD. 3: tenseurs. Enoncé. Solutions.
• TD. 4: formes différentielles. Enoncé. Solutions.
• TD. 5: géométrie (pseudo) Riemanienne et électromagnétisme Enoncé. Solutions.
• TD. 6: théorie des champs de Jauge: modèles de Yang Mills Enoncé. Solutions.

• connexion de Levi-Civita sur le fibré tangent d'une variété Riemannienne. Géodésiques, Tenseur de courbure de Riemann.
• champ de matière, champ de Jauge et gravitation: le modèle d'Einstein de la physique
• Modèle d'expansion d'un univers homogène de Robertson Walker. Le « big bang ».

4 Exposés et documents

• Voir ici une liste de sujets possibles en géométrie/topologie pour la physique.
• Pendule de Foucault et transport parallèle. Voir le début de ces notes de cours et l'article de Bourguignon sur cette même page web.
• Courbure Holonomie, chute du chat
• Formes différentielles et thermodynamique. Livre de Bamberg et Sternberg. chap.22
• Equations de Maxwell d'électromagnétisme et géométrie différentielle, géométrie Riemanienne. Voir les notes de ce cours. (à venir)
• Equation de Hamilton et géométrie différentielle, géométrie symplectique. Voir ces notes de cours page 135, et références citées.
• Equations d'Einstein et géométrie Riemanienne.
• Equations de Dirac et géométrie riemanienne, spineurs.

Le flot géodésique sur la surface hyperbolique modulaire et les propriétés des nombres

1. Propriétés des nombres et fractions continues. Relation avec l'application de Gauss $G:x\in \left[0,1\right]\to 1/x mod 1\in \left[0,1\right]$.
2. Flot géodésique
   1. Etude du flot géodésique sur la surface hyperbolique appelée disque de Poincaré $H^2$.
   2. Construction de la surface modulaire $M={SL}_{2}Z\backslash H^2$.
   3. Section de Poincaré: l'application de Gauss $G:x\in \left[0,1\right]\to 1/x mod 1\in \left[0,1\right]$.

4.4 Théorie des groupes

• Le groupe de Heisenberg et les états cohérents standard. Lire le livre "LeBellac Physique Quantique" p.386 ou notes de cours p.90, et l'article "Zhang et al. Coherent states and some applications" chap.II, et Livre "Perelomov, Generalized coherent states" page 8.
• Le groupe SU(3) et le modèle des quarks. The "eight fold way". Voir Livres "Perkins High energy physics" page 109, "Sternberg, Group theory and physics" p.275,p.284 et " "Marleau, Introduction à la physique des particules" chap.6.
• Le groupe des tresses. Exposé introductif de M. Eisermann 2008, sur les tresses et les neuds.

5 Autres documents

• John Baez; John Huerta "The algebra of grand unified theories". Bull. Amer. Math. Soc. 47 (2010), 483-552.
• Article de F. Pham sur les séries divergentes et la théorie de Emile Borel.