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Rappels sur la construction BKW. Étude du cas sans torsion.

  On considère dans ce travail l'opérateur de Dirac défini dans tex2html_wrap_inline2300 par:

  equation71

où les matrices tex2html_wrap_inline2302 sont des matrices tex2html_wrap_inline2304 :

  eqnarray82

Ici V est un potentiel tex2html_wrap_inline2308 admettant un extrêmum non dégénéré en un point P que l'on prendra comme origine, i.e.:

X.P. Wang a montré dans [5] que pour C fixé, l'intervalle tex2html_wrap_inline2322 contient un nombre fini de valeurs propres de l'opérateur de Dirac pour h assez petit, ces valeurs propres sont doubles et en bijection avec les valeurs propres de l'oscillateur harmonique tex2html_wrap_inline2326 :

displaymath2296

telles que tex2html_wrap_inline2328 . Ici tex2html_wrap_inline2330 désignent les valeurs propres de la hessienne de la distance d'Agmon d à l'origine, d est donnée par l'équation éïconale tex2html_wrap_inline2336 .

Dans cette section, nous nous intéressons aux fonctions propres, correspondant à des valeurs propres situées dans l'intervalle tex2html_wrap_inline2322 , une telle valeur propre En(h) ( tex2html_wrap_inline2342 ) est donnée par un développement asymptotique semi-classique, au sens que des puissances demi-entières de h peuvent apparaître:

  equation137

(dans [2], on a traité uniquement le cas n=(0,0,0)).

Nous allons calculer le symbole principal de la fonction propre le long d'une géodésique de la distance d'Agmon issue de l'origine d'abord en toute généralité, puis lorsqu'elle reste dans un plan. Ceci permettra de préciser des développements asymptotiques dans des phénomènes faisant intervenir l'effet tunnel, par exemple lorsqu'on dispose de symétries.





Bernard Parisse
Tue Mar 25 14:27:08 MET 1997