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Isomorphisme associé à une géodésique reliant deux puits.

  Revenons à (13). On remarque tout d'abord que y est de norme constante. De plus y est une section du sous-fibré vectoriel de rang 2, dont la base est la géodésique d'Agmon tex2html_wrap_inline2226 et dont la fibre est Ker tex2html_wrap_inline2434 .

Considérons maintenant une géodésique d'Agmon reliant 2 puits. La fibre étant identique au départ et à l'arrivée, il est naturel de comparer y aux deux puits. En fait on verra que le produit scalaire en un point de la géodésique de deux solutions BKW issues de ces deux puits fait justement intervenir la variation d'une solution y d'un puits à l'autre (cf. lemme 11).

On se donne donc deux puits non dégénérés tex2html_wrap_inline2442 et tex2html_wrap_inline2444 de même nature reliés par une géodésique tex2html_wrap_inline2226 pour la distance d'Agmon associée au potentiel V.

  defi309

Il s'agit bien évidemment d'une application linéaire, qui est d'ailleurs unitaire. De plus, cet endomorphisme possède une propriété de symétrie supplémentaire: il commute avec l'opérateur antilinéaire de Kramers. Ce dernier est défini sur tex2html_wrap_inline2230 par:

displaymath2422

et s'étend de manière évidente à tex2html_wrap_inline2458 . L'égalité tex2html_wrap_inline2460 vient du fait que K commute avec l'opérateur de Dirac.

Soit donc tex2html_wrap_inline2464 une valeur propre de tex2html_wrap_inline2242 et u un vecteur propre associé. Alors Ku est aussi un vecteur propre associé à tex2html_wrap_inline2472 . Comme (Ku|u)=0, tex2html_wrap_inline2242 est diagonalisable de valeurs propres tex2html_wrap_inline2464 et tex2html_wrap_inline2472 , chacune de multiplicité 1 (ou tex2html_wrap_inline2464 de multiplicité 2 si tex2html_wrap_inline2464 est réel). Comme tex2html_wrap_inline2486 puisque tex2html_wrap_inline2242 est unitaire, on associe naturellement à tex2html_wrap_inline2242 l'argument de tex2html_wrap_inline2464 , c'est en quelque sorte la phase de Berry de la géodésique.

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Bernard Parisse
Tue Mar 25 14:27:08 MET 1997