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Introduction.

  Dans un précédent travail ([2]), nous avons étudié en limite semi-classique la première bande du spectre de l'opérateur de Dirac

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avec un potentiel périodique V(x) admettant un unique minimum non dégénéré par cellule de périodicité. Nous avions alors montré que cette bande était de taille exponentiellement petite, comme dans le cas de l'opérateur de Schrödinger.

Une des spécificités de l'opérateur de Dirac en dimension 3 est l'existence d'un opérateur antilinéaire (l'opérateur de Kramers) qui commute avec l'opérateur de Dirac lorsque le champ magnétique est nul, ce qui entraine que les valeurs propres sont de multiplicité paire (dans la théorie non relativiste, on rend compte du phénomène en définissant le ``spin'' de l'électron et en ajoutant un terme d'interaction du spin avec le champ magnétique). La question naturelle qui se pose dans le cas d'une bande du spectre continu est donc la multiplicité de valeurs propres de Floquet qui parcourent cette bande.

Dans [2], nous avons montré qu'à chaque valeur propre double En(h) du problème à un puits (i.e. l'opérateur obtenu en ``bouchant'' convenablement tous les puits du potentiel sauf un) correspondent deux valeurs propres de l'opérateur de Floquet, dont on peut calculer le développement asymptotique (cf. infra):

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où:

On aboutit alors à la conclusion suivante: lorsque le paramètre de Floquet varie, les deux valeurs propres correspondant à une même valeur propre double sont distinctes, elles parcourent le même intervalle mais sont déphasées de tex2html_wrap_inline2232 .

On démontre ce résultat en construisant des approximations BKW des fonctions propres de l'opérateur de Floquet et on détermine ainsi a(h) et tex2html_wrap_inline2238 . On prouve ainsi que a(h) est un symbole elliptique. Dans [2], nous n'arrivions pas à contruire un exemple de potentiel tel que tex2html_wrap_inline2242 ne soit pas un multiple de tex2html_wrap_inline2244 pour tout h assez petit. La question (posée par B. Helffer) de savoir si semi-classiquement les valeurs propres étaient ou non doubles n'était pas résolue.

Ici nous montrons que l'on peut calculer de manière très explicite le symbole principal du développement BKW d'un quasi-mode le long d'une géodésique d'Agmon planaire, ce calcul fait l'objet de la section 2. Lorsque la géodésique tex2html_wrap_inline2226 reliant les deux puits les plus voisins est planaire, nous donnons à la section 5 un calcul explicite de la phase tex2html_wrap_inline2228 , plus précisément nous montrons que:

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tex2html_wrap_inline2254 désigne la courbure euclidienne de la géodésique, V le potentiel et ds l'élément de longueur euclidienne. En particulier, si la géodésique minimale est rectiligne, tex2html_wrap_inline2260 .

Pour répondre à la question de la multiplicité des valeurs propres, il suffit alors de construire un potentiel V tel que la géodésique minimale reliant deux puits soit planaire et tel que tex2html_wrap_inline2228 ne soit pas un multiple de tex2html_wrap_inline2266 . Ici, il faut insister sur le fait que des exemples à variables séparées ne peuvent convenir, car ils donnent lieu à des géodésiques minimales rectilignes ( tex2html_wrap_inline2268 donc tex2html_wrap_inline2260 ).

Nous avons d'abord cherché à construire un potentiel dont la géodésique tex2html_wrap_inline2226 soit convexe, ce qui assurerait que la fonction à intégrer garde un signe constant (puisque le terme (1+V)/2V est positif: nous rappellerons plus loin qu'un puits ponctuel de l'opérateur de Dirac d'énergie nulle est un point où le potentiel vaut -1 dans des unités convenables, le décalage de 1 est l'énergie de masse de la particule). Malheureusement, bien qu'intuitivement on imagine très bien l'existence de tels potentiels, nous n'avons pas réussi à en construire. Nous nous sommes donc attachés à montrer la non-nullité générique globale de l'intégrale, c'est l'objet du théorème 7 que l'on montre en plusieurs étapes:

Les résultats obtenus dans la section 3 ne sont pas spécifiques à l'opérateur de Dirac, par exemple le lemme 8 s'applique aussi à l'opérateur de Schrödinger

Enfin, la dernière section de cet article est consacrée à une autre application de la construction BKW le long d'une géodésique planaire: il s'agit d'une petite amélioration du résultat du deuxième auteur ([4]) sur l'étude de l'effet d'Aharonov-Bohm sur un état borné de l'opérateur de Dirac.


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Bernard Parisse
Tue Mar 25 14:27:08 MET 1997