On a en fait un résultat un peu plus général pour un potentiel analytique non forcément périodique:
Preuve du lemme 8:
Considérons les sphères d'Agmon SP et SP' de centres
P et P' et de rayon . On choisit
tel que la distance d'Agmon de x à P [respectivement P'] soit
analytique à l'intérieur des sphères.
Soit , il existe une unique géodésique (minimale)
reliant P et x. On paramètre
pour
en faire la solution d'énergie 0 du hamiltonien
passant par x à l'instant t=0. On pose alors
. On observe
que
est analytique par rapport à x et à t.
Soit maintenant tel que la géodésique
correspondante relie P à P'. Notons
l'intersection de SP' avec la géodésique. Soit x un point
voisin de x0 , l'équation de l'intersection de
et de SP' (si elle existe) est:
On applique le théorème des fonctions implicites en x0,t0, il s'agit de déterminer t en fonction de x . On a:
(uniformément). Donc il
existe un voisinage de x0 tel que la géodésique issues de
P et passant par x rencontre SP' à l'instant t(x) où
est une fonction analytique de x. La
géodésique aboutit alors en P' si et seulement si:
qui est une condition analytique par rapport à x.
Ainsi, le théorème des zéros isolés permet d'affirmer que soit toutes les géodésiques issues de P aboutissent à P', soit elles sont isolées.
QED
Si on suppose de plus que V est périodique, les géodésiques
sont forcément isolées. En effet, il existe une géodésique
issue de P qui ne passe pas par P': il suffit de prendre
translatée de P -P' .