Il s'agit ici de corriger une erreur dans notre article [2] (voir l'erratum). On considère la situation suivante:
On notera F un domaine fondamental de périodicité de V.
Soit le réseau dual de
et soit
. Soit
l'ensemble des
fonctions de L2(F) qui se prolongent en une fonction sur
vérifiant les conditions de périodicité:
Alors l'opérateur défini sur
par
l'action de DV(h) admet un spectre discret et le spectre de
DV(h) est la réunion, lorsque
parcourt
de ces spectres.
On s'intéresse maintenant à la partie du spectre de DV(h)
proche de E=0. Considérons le problème à un puits D1
obtenu à partir de DV en ``bouchant'' tous les puits de
potentiels de V sauf celui situé à l'origine (en pratique, on
définit un potentiel égal à V sauf sur des boules
de taille
centrées sur
où l'on
augmente [respectivement diminue]
si V(0)=-1
[respectivement V(0)=1]). Soient u1 et u2=Ku1 une base
de fonctions propres de D1 correspondant à une énergie
et soit
une troncature à support
compact dans F et valant 1 dans un voisinage de l'origine. Alors
et
forment un couple de quasi-modes
indépendants de
de quasi-énergie En(h). Ceci
montre que le spectre de
ne dépend que de manière
exponentiellement faible de
. Le spectre de DV au
voisinage de E=0 est donc constitué de bandes de largeur
exponentiellement petite. Il est alors naturel:
Soit S la distance d'Agmon minimale entre deux points du réseau
. On construit une nouvelle fonction de troncature
telle que:
Pour x fixé, la somme sur est en fait finie car
est à support compact. Comme on va le voir, les effets
d'interactions sont de l'ordre de e-S/h. On va donc adopter la
notation
pour dire que:
Supposons pour fixer les idées que les deux points les plus proches
de O pour la distance d'Agmon soient et
: cf. figure 1, p.
. Plus loin, on notera simplement
et
qui désignera donc selon le contexte un point
ou un réel. Alors, sur F, on a:
Les valeurs propres de la matrice d'interaction
sont donc équivalentes au
sens ci-dessus aux
. Comme sur F, on
a:
on en déduit:
Figure 1: Calcul de la matrice d'interaction.
Supposons qu'il existe une unique géodésique l+ reliant O
à . Alors la première intégrale est
équivalente (au sens ci-dessus) à l'intégrale sur un voisinage
de l'intersection de l+ et du support de
. De même, la deuxième intégrale est
équivalente à l'intégrale sur un voisinage
de
l'intersection du translaté l- par
de
l+ et du support de
.
Pour évaluer ces deux intégrales, l'idée est de faire passer
D-En(h) de l'autre côté, en utilisant le fait que D est
formellement autoadjoint. Il ne restera alors que des termes de bord
sur et
puisque
(D-En(h))uk=0. On évalue alors ces termes de bord en
remplaçant les fonctions par leurs approximations BKW et en
appliquant le théorème de la phase stationnaire, ce qui suppose
une hypothèse de non-dégénérescence de la géodésique
l+. Le terme (j,k) de la matrice d'interaction vaut alors
d'après le théorème de Stokes:
où désigne la normale
extérieure à
exprimée dans la base
et uBKWj,P désigne
la solution BKW correspondant à uj issue du point P.
Soit . Sur la géodésique l+,
on a d+(x)=S et
. On suppose que l+ est non dégénérée,
c'est-à-dire que la hessienne transversale de d+ est définie
positive le long de l.
Comme le terme exponentiel par rapport à h
dans l'intégrale sur
est justement
e-d<<1353>>+(x)/h, le lemme de la phase stationnaire montre que
le terme (j,k) de la matrice d'interaction admet un développement
semi-classique dont le terme principal est:
où désigne le point de
tel que
et wj,P désigne
le symbole principal de la solution BKW issue de P correspondant
à uj (c'est le terme w0 dans (4).
Pour utiliser la périodicité, on aimerait que .
On choisit donc
et
de telle sorte que
et
(comme sur la
figure).
On obtient alors pour le terme (j,k):
Pour faire le lien avec les sections précédentes, il faut exprimer des termes de la forme
en fonction du vecteur tangeant à la géodésique.
En fait:
ne dépend pas de la direction de n+ mais uniquement du sens
(sortant ou entrant).
En effet, si l'angle entre n+ et le vecteur tangeant à la
géodésique est , on a:
(on le voit facilement en faisant un changment de coordonnées dans le plan engendré par n+ et t, et en faisant un développement limité à l'ordre 2 de (d+) '' en x+ ).
D'autre part, si n est un vecteur orthogonal à la géodésique, alors on applique (31):
donc:
On peut donc supposer que
est le vecteur tangent à l+ orienté dans
le sens des x1 décroissants et
le vecteur tangent à l- orienté dans le sens des x
croissants. Par périodicité, on a:
En utilisant le fait que u2=Ku1 et les propriétés de l'opérateur de Kramers K, on montre que la matrice d'interaction est:
Les valeurs propres de M sont les:
où:
Finalement les valeurs propres sont:
La bande de spectre centrée autour de En(h) n'est donc pas
double génériquement. En fait, chaque valeur propre
ou
parcourt la même
bande avec un déphasage par rapport à l'autre valeur propre.