Samuel Le Fourn

Si $A$ et $B$ sont deux variétés abéliennes isogènes sur un corps de nombres, la différence entre leurs hauteurs de Faltings est contrôlée par le degré de l'isogénie (par un résultat du à Raynaud).

Si $E$ est une courbe elliptique non isotriviale sur un corps de fonctions de caractéristique $p$, Richard Griffon et Fabien Pazuki ont montré comment la hauteur de $E$ (ici, le degré de son $j$-invariant comme fonction rationnelle) varie après isogénie $E \rightarrow E'$ et la réponse est que $h(E') = p^k h(E) \, ( k \in \mathbb{Z})$ avec $p^k$ qu'on peut exactement déterminer en fonction de l'isogénie.

On s'attend donc à un résultat tout aussi agréable (ou ressemblant au cas des corps de nombres) pour des variétés abéliennes sur des corps de fonctions, avec une bonne notion de hauteur, mais c'est là que les ennuis commencent et rien ne se passe comme prévu.

Dans cet exposé, j'expliquerai d'abord pourquoi le cas des courbes elliptiques marche aussi bien, et ensuite pourquoi le cas général marche aussi mal et le travail en commun réalisé avec Richard Griffon et Fabien Pazuki pour quand même obtenir les meilleures estimations possibles dans les cas favorables.