Relèvement de sections galoisiennes le long de torseurs

Soit $k$ un corps de nombres et $X/k$ une courbe hyperbolique propre.
Tout point rationnel de $X/k$ fournit une section du morphisme de groupes fondamentaux étales $\pi_1(X) \to {\rm Gal}_k$. La conjecture des sections de Grothendieck prédit que ce procédé donne une bijection entre l'ensemble $X(k)$ des points rationnels et l'ensemble de telles sections, à conjugaison près. Une conséquence frappante d'une version raffinée de cette conjecture est que pour tout ouvert non vide $U$ of $X$, une section de $\pi_1(X) \to {\rm Gal}_k$ se relève en une section de $\pi_1(U) \to {\rm Gal}_k$. Cette conséquence, la conjecture d'épointage, est une aussi une étape de différentes stratégies pour attaquer la conjecture des sections. Comme première approche, on peut étudier le relèvement d'une section de $\pi_1(X) \to {\rm Gal}_k$ en une section de $\pi_1(E) \to
{\rm Gal}_k$, où $E/X$ est un torseur naturel sous un tore, trivial sur $U$. J'expliquerai comment obtenir des résultats positifs dans cette direction pour des ouverts $U$ très spécifiques et seulement lorsque $k=\bf Q$. C'est un travail en commun avec Michel Emsalem et Jakob Stix.