Week-end de rentrée de l'Institut Fourier - Autrans 2010

Programme scientifique

Samedi 25 septembre 2010 $ Jean Berthet - Nullstellensätze et Classes Positivement Modèle-Complètes d'Anneaux Le théorème des zéros de Hilbert est étroitement lié à la propriété logique appelée « modèle-complétude » dans les corps algébriquement clos. Différents analogues (réel, p-adique,...) du Nullstellensatz ont été démontrés : existe-t-il une théorie générale derrière ces analogies ? La réponse est oui : grâce à quelques notions élémentaires de théorie des modèles que nous introduirons pour les anneaux, nous montrerons comment définir des idéaux premiers et radiciels relativement à une classe « élémentaire » donnée, et comment ces notions sont liées à une propriété que nous appelons « complétude géométrique », et qu'on peut caractériser par une autre propriété logico-géométrique de la classe d'anneaux en question. Jaroslaw Buczynski - [Maps between toric varieties in coordinates->doc935] In Algebraic Geometry we often study algebraic varieties, the zero-loci of a collection of polynomials inside a suitable ambient space. Classically, this ambient space is a complex affine space or a complex projective space (which requires the defining polynomials to be homogeneous). Both affine and projective spaces are examples of toric varieties, i.e. varieties with an action of a (complex) torus, i.e. a direct product of multiplicative group $C^*$ ---this action is required to have an open (dense) orbit. David Cox proved a characterisation of toric varieties, in terms of an existence of a polynomial coordinate ring with a suitable homogeneity condition. This makes all the toric varieties (a huge class of examples) into nice ambient spaces. Algebraic maps between affine spaces are described in coordinates by a sequence of polynomials. Maps between projective spaces are described by a sequence of homogeneous polynomials of the same degree. Using these descriptions, we are able to explicitly transfer objects from domain to target (for instance, given the defining equations of a subvariety, find the equations of the image of this subvariety) or from target to domain (for instance, the same as before but for the preimage). If we consider an algebraic map between two toric varieties, then polynomials might not be sufficient to describe it in coordinates. We also need to consider certain radical expressions (such as square root of a polynomial). Using these expresions we can describe any algebraic map between any two toric varieties. Such description can be used to determine the equations of an image or a preimage by analogy to the case of affine and projective space. The content of the third paragraph is a joint work with Gavin Brown. Hassan Mcheik - Étude de la convergence de la trajectoire de l'équation de la boule pesante Nous commençons tout d'abord par une introduction générale, qui présente le sujet de l'exposé, les équations différentielles, le système dynamique correspondant, les équations, les relations entre elles, les paramètres de contrôle et leurs domaines, l'interprétation géométrique et mathématique et les objectifs de cette étude. Ensuite, on présentera la partie bibliographique, les principales références et les résultats antérieurs où les paramètres de contrôle sont différents. Enfin on présentera le sujet de l'exposé avec le même système dynamique, mais avec de nouveaux paramètres de contrôle, et les objectifs que l'on souhaite atteindre. Maximiliano Leyton-Alvarez - Sur le problème des arcs de Nash pour les singularités des surfaces Soit $X$ une variété algébrique ou analytique complexe. J. Nash a proposé des nouvelles idées pour étudier les singularités de $X$ : l'espace des arcs de $X$ ; les composantes de Nash de $X$ ; les diviseurs essentiels sur $X$ ; etc. Nash a défini aussi une application de l'ensemble des composantes de Nash de $X$ dans l'ensemble des diviseurs essentiels sur $X$ : l'application de Nash et il a démontré qu'elle est injective. Le problème des arcs de Nash consiste à étudier la surjectivité de cette application. Elle est établie dans plusieurs cas (les singularités $A_n$, $D_n$, les variétés toriques, etc), mais il y a un contre-exemple en dimension quatre ( S. Ishii, J. Kollar). M. Lejeune-Jalabert a proposé le problème de relèvement de wedges pour les singularités de surfaces. A. Reguera a étendu ce problème aux variétés algébriques de toute dimension et elle a démontré son équivalence avec le problème de Nash. Dans cet exposé on introduit les notions de base du problème de Nash et le problème de relèvement de wedges pour le cas des surfaces algébriques et on analyse quelques exemples. François Dahmani - Théorie géométrique des groupes et problèmes algorithmiques L'étude des groupes de type fini, ou de présentation finie s'est cristallisée en partie, au fil du XXème siècle, autour de problèmes algorithmiques fondamentaux, énoncés vers 1910 par Dehn. Les problèmes du mot, de la conjugaison, et des équations, demandent au sein d'un groupe donné, de savoir déterminer, systématiquement, en un nombre fini d'étapes, si un élément est l'élément neutre, si deux éléments sont conjugués, ou si une équation a une solution. Vers 1950, il est apparu que même le plus simple de ces problèmes n'était pas résoluble, dans certains groupes (Boone, Novikov). En revanche, la solution de Dehn au problème du mot des groupes fondamentaux de surfaces, et celle de Makanin au problème des équations dans les groupes libres ont inspiré des parties importantes de la théorie combinatoire des groupes, puis de la théorie géométrique des groupes. Le problème d'isomorphie demande de déterminer si deux présentations définissent des groupes isomorphes. Inaccessible d'un point de vue combinatoire, il trouve une solution très large dans un contexte géométrique. Dimanche 26 septembre Jean Lancrenon - Authentification d'objets à distance L'authentification d'objets à distance est le fait de prouver qu'un objet est authentique loin d'une autorité légitime. Après avoir expliqué le principe de fonctionnement d'un procédé permettant cette opération, on présentera quelques protocoles pour le réaliser en expliquant les différentes primitives cryptographiques utilisées. En particulier, on définira formellement - c'est-à-dire en termes d'algorithmes - un modèle de sécurité visant à englober le plus d'adversaires possibles, et on essayera d'expliquer comment il est possible de prouver mathématiquement la sécurité des protocoles dans ce modèle. Gael Ceillier - Filtration à temps discret Le caractère standard ou non-standard est un invariant important dans la théorie des filtrations à temps discret. Le but principal de cet exposé est de déterminer si certaines filtrations sont standard ou non. Nous verrons aussi les notions plus simples que sont l'existence de paramétrisation génératrice et être de type produit. Hiba Abdallah - Processus de diffusion sur une variété riemannienne La diffusion de la chaleur caractérise la transmission ou le transfert de chaleur avec un mouvement naturel. Sur un support homogène $D$ (une surface ou plus généralement sur une variété ...), on peut définir un opérateur différentiel d'ordre 2 appelé le Laplacien. A ce laplacien, on associe l'équation de la chaleur : cette dernière décrit l'évolution de la chaleur sur $D$, en temps $t$. Dans cet exposé, on va voir comment la définition de cet opérateur sur une variété riemannienne $(M, g)$, et la détermination de ses valeurs propres et de ses fonctions propres, nous permettent d'avoir des informations géométriques sur la variété en question. De plus, on montre comment on réalise $(M, g)$ dans un espace Euclidien à l'aide de ces propriétés de diffusion (les valeurs et les fonctions propres). Greg Kuperberg - [Numerical cubature from geometry and coding theory->doc936] The numerical cubature problem is the generalization to higher dimensions of integration methods such as Simpson's rule. Given a region $X$ in $\mathbb{R}^n$, a t-cubature formula is a finite set $C$ such that the integral of any polynomial $P$ of degree t over $X$ equals a weighted sum over values on $C$. Ideally $C$ has small cardinality, positive weights, and is a subset of $X$. Although Gaussian quadrature can be viewed as a complete solution in one dimension, the cubature problem is open and probably open-ended in higher dimensions. I will discuss new methods for the cubature problem coming from error-correcting codes and symplectic geometry. The starting point for these methods is Archimedes' hat-box theorem that relates area on a sphere to area on a cylinder. $