Théorèmes Tb locaux et inégalités de type Hardy

On présentera dans cet exposé de récents résultats concernant la théorie des opérateurs d'intégrale singulière et plus particulièrement les théorèmes
T(b) locaux. L'intérêt de ce type d'énoncé par rapport au théorème T(b) classique de David, Journé et Semmes est qu'ils ne nécessitent pas de produire de fonction para-accrétive définie sur l'espace tout entier. Il
suffit pour les appliquer d'avoir une collection de fonctions définies et supportées par exemple sur les boules de l'espace, et vérifiant certaines conditions d'intégrabilité, ce qui apporte une plus grande souplesse en pratique. Tout le problème consiste à tenter d'abaisser ces hypothèses d'intégrabilité, et on donnera un résultat apportant une réponse partielle à cette question. On en profitera pour présenter des inégalités dites de type
Hardy qui jouent un rôle central dans les estimations des termes techniques apparaissant dans la preuve. Bien connues dans R^n, elles ne sont pas toujours vraies dans des espaces métriques doublants quelconques, et on donnera quelques conditions de nature géométrique permettant d'y assurer leur validité.