Sur l'hypocoercivité de deux modèles cinétiques jouets (en collaboration avec Sébastien Gadat)

L'hypocoercivité correspond à une convergence à l'équilibre exponentiellement rapide sous des hypothèses de type hypoelliptique sur le générateur markovien sous-jacent. On s'intéressera à deux modèles cinétiques jouets, l'un consistant à enrouler sur le cercle l'intégrale d'un processus d'Ornstein-Uhlenbeck et l'autre étant son équivalent gaussien (avec un potentiel confinant quadratique).

Ces modèles étant non-réversibles, la connaissance de leur spectre ne suffit plus à décrire leur comportement en temps petit ou grand, il est nécessaire d'utiliser les produits scalaires entre les vecteurs propres (ce qui fait curieusement apparaître des lois discrètes). En calculant exactement les normes opérateurs du semi-groupe
à tout instant (dans $\LL^2$), on quantifiera le fait que la convergence à l'équilibre est d'abord plus lente mais finit par pouvoir atteindre des taux asymptotiques meilleurs
que les modèles réversibles correspondants. Enfin, on discutera de la perspective de trouver une approche alternative à l'hypocoercivité par rapport aux méthodes
usuelles en analyse (recours à une norme coercive de type $H^1$) et en probabilité (fonctions de Liapounov).