Points rationnels de $X_0^+(p^r)$

En mêlant théorie analytique des nombres, géométrie arithmétique et algorithmique, Yuri Bilu, Pierre Parent, et moi-même avons montré que pour tout entier $r>1$ et tout nombre premier $p\ge11, p\neq 13$, la courbe modulaire $X_0^+(p^r)$, quotient de la courbe $X_0(p^r)$ par l'opérateur d'Atkin-Lehner $w_{p^r}$ n'admet pas de point rationnel autre que ceux attendus (qui sont des pointes ou des points CM). Pour $r=2$ cela répond en partie à  une question posée par Serre dans les années 70. Dans cet exposé je raconterai une (ou plusieurs?) facette(s) de ce travail en commun.