La dichotomie de Hopf-Sullivan pour les variétés de rang un

(Travail en commun avec Gabriele Link)

Une propriété essentielle du flot géodésique des variétés compactes de courbure sectionnelle strictement négative est son caractère hyperbolique, traduit par la propriété d'Anosov. De cette propriété, découlent d'importants résultats, au rang desquels on peut citer l'ergodicité du flot pour la mesure de Liouville, démontrée (de manière détaillée) en 1971 par E. Hopf, mais aussi l'unicité de la mesure d'entropie maximale, vis-à-vis de laquelle le flot géodésique est encore ergodique. Le principe, si l'on souhaite supprimer l'hypothèse de compacité, est de garder suffisamment de complexité topologique, faute de quoi le flot géodésique ne serait constitué que d'un ensemble errant à propos duquel on ne pourrait espérer aucun résultat. Cette complexité topologique est le sens à donner à l'hypothèse faite sur le premier groupe fondamental de la variété que l'on suppose non-élémentaire. A partir ce cette hypothèse, D. Sullivan a obtenu un résultat important pour les variétés hyperboliques, à savoir qu'il existe une alternative pour le comportement du flot géodésique : soit il est totalement dissipatif, c'est-à-dire que l'espace des phases n'est constitué que d'ensemble errants, soit il est totalement conservatif (il n'y a pas d'ensembles errants non triviaux) et ergodique. Ce résultat a été obtenu originellement pour la mesure de Liouville, puis pour une classe de mesures qui joue un rôle central dans l'étude dynamique du flot géodésique : la classe de Patterson-Sullivan. Cette mêeme dichotomie est valable pour un groupe d'isométries non-élémentaire d'un espace $CAT(-1)$.

Nous montrons, dans un travail commun avec G. Link, que cette alternative subsiste
dans le cadre plus vaste des variétés de {\it rang un}. Cette notion de rang un doit s'entendre {\it a priori} au sens (faible) o\`u il existe un élement du groupe fondamental qui agit par translation sur une géodésique du revêetement universel ne bordant pas de demi-plan plat. Toutefois, l'argument de Hopf qui conduit à l'ergodicité requiert l'hypothèse plus forte du rang un au sens géométrique, selon la définition classique. La définition au sens faible peut être vue comme une ligne de démarcation géométrique naturelle entre les variétés de rang un et les espaces localement symétriques de rang supérieur.

Toutes les notions seront introduites de manière précise au fil de l'exposé, la fin seule étant réservée à la présentation des arguments qui permettent de s'affranchir de l'hypothèse $CAT(-1)$.