Georges Comte

Les points rationnels, de hauteur au plus un entier H, du graphe d'une fonction analytique f d'une variable 
(une série entière sur un disque de rayon strictement plus petit que son rayon de convergence) sont peu nombreux
(c'est-à-dire au plus une puissance de log H) dès lors que ce graphe coupe les courbes algébriques de degré d 
en un nombre de points au plus polynomial en d. Sous certaines hypothèses portant sur les coefficients de la série f, 
on peut garantir un tel comportement du graphe de f. 
Il s'agit de raffinements de théorèmes de comptage de points rationnels à la Pila-Bombieri, Pila-Wilkie, obtenus en 
collaboration avec Y. Yomdin.

D'autre part, soit N(r,d) le nombre de points d'intersection de la restriction à l'intervalle [0,r]
d'une courbe plane (non plus analytique mais seulement C-infini) paramétrée par [0,\infty[, avec une courbe algébrique de degré d. 
Si N(r,d) est au plus polynomial en d et r, on donne des conditions sur la décroissance à l'infini de sa paramétrisation afin que cette 
courbe possède peu de points rationnels de hauteur < H. Ces conditions sont satisfaites par exemple par les spirales logarithmiques 
comme par la fonction zêta de Riemann. Il s'agit d'un travail en collaboration avec C. Miller, qui concerne certaines
structures géométriques moins modérées que les structures o-minimales. 

J'expliquerai le contexte général et je donnerai les idées importantes permettant de produire de telles bornes pour le nombre de
points rationnels. L'exposé ne suppose aucun prérequis particulier.