Entropie volumique et exposant critique : contre exemple à  l'égalité en courbure négative variable.

{it Soit $ (X,g)$ une variété de Cartan Hadamard à  courbures sectionnelles $Kin[-b^2,-a^2]$. Lorsque
$X$ admet un réseau uniforme $Gsubset Is(X)$, les deux invariants qui suivent jouent un rôle important et naturel dans
l'étude géométrique et dynamique du flot géodésique sur la variété quotient $M=X/G$ (compacte) :\
1) La série de Poincaré de $G$ (et son abscisse de convergence $delta_{G}$ appelée encore exposant critique du groupe $G$),\
2) L'entropie volumique $h(g)$ de $(X,g)$ qui est le taux de croissance exponentiel du volume des boules dans $X$.
Il est bien connu que dans le cas des réseaux uniformes, $h(g)$ est une limite et
coïncide avec l'exposant critique de n'importe quel réseau uniforme.\
Nous nous proposons de d'examiner le cas où $Is(X)$ contient des réseaux non-uniformes. Hormis lorsque $(X,g)$ est un espace symétrique,
ce cas est disjoint du précédent par un résultat d'Eberlein. Nous montrons que l'égalité entre exposant critique et entropie volumique
est satisfaite lorsque la courbure est asymptotiquement $1/4$-pincée, et nous
donnons une famille d'exemples (en dimension deux) qui montre que le relâchement
de cette hypothèse peut entraîner l'inégalité stricte $h(g)>delta_{G}$.
%Ce travail est le fruit d'une collaboration avec F. Dal'Bo, M. Peigné et A. Sambusetti.\