Défaut de transversalité de deux lagrangiens et indice ternaire (travail en commun avec Jean Lannes)

[Résumé en pdf->https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/IMG/pdf/Abstract-GrenobleB.pdf]

Soit $R$ un anneau commutatif. Un $R$-module symplectique est un $R$-module projectif de type fini $P$ muni d'une forme symplectique $\omega$, c'est-à -dire une forme bilinéaire alternée, à  valeurs dans $R$, non dégénérée. Un lagrangien de $P$ est un sous-module $\Lambda$ de $P$ qui possède les deux propriétés suivantes~:

-- $\Lambda=\Lambda^{\perp}$ ($\Lambda^{\perp}$ désigne l'orthogonal de $\Lambda$ par rapport à  $\omega$)~;

-- $\Lambda$ est facteur direct dans $P$ (ce qui implique en particulier que $\Lambda$ est un $R$-module projectif de type fini).

On dit que deux lagrangiens $\Lambda$ et $\Lambda'$ sont transverses, et l'on écrit $\Lambda t \Lambda'$, si l'on a $\Lambda+\Lambda'=P$.

Soient $\Lambda$ et $\Lambda'$ deux lagrangiens~; nous appelons homotopie de $\Lambda$ à  $\Lambda'$ une suite finie $h$ de lagrangiens consécutivement transverses
$$
\Lambda=\Lambda_{0} t \Lambda_{1} t \Lambda_{2} t \ldots t \Lambda_{2n-1} t \Lambda_{2n}=\Lambda'
$$
(et nous disons que $\Lambda$ et $\Lambda'$ sont homotopes si une telle suite existe). Nous associons à  cette homotopie une ``forme de Sylvester $\mathrm{S}(h)$ qui est une forme bilinéaire symétrique (à  valeurs dans $R$) définie sur le $R$-module ${(\Lambda_{1}\oplus\Lambda_{2}\oplus\ldots\oplus\Lambda_{2n-1})}^{*}$ (qui est un $R$-module projectif de type fini).